Considere a transformação linear
tal que
). Encontre
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que mapeiam vetores de um espaço para outro de forma que respeitam certas propriedades matemáticas. No caso, a transformação
leva vetores de
para
. O objetivo aqui é encontrar o vetor
que, quando aplicado na transformação
, resulta no vetor
. Para isso, vamos resolver um sistema de equações lineares utilizando a definição da transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação
de forma explícita. Sabemos que:
Queremos que
. Isso significa que cada componente de
deve ser igual ao correspondente componente do vetor
.
Passo 3
Vamos estabelecer um sistema de equações igualando cada componente:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar
e
.
- Da primeira equação:
Podemos isolar:
- Agora, substituímos
na segunda equação:
- Com
, substituímos de volta para encontrar :
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação do sistema:
Como ambos os lados da equação são iguais (
), nossos valores estão corretos.
Resposta
O vetor
que satisfaz
é: