Considere a transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(x1, x2)=(2 x1-x2,-3 x1+x2, 2 x1- 3 x2 ). Encontre x tal que T(x)=(0,-1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que mapeiam vetores de um espaço para outro de forma que respeitam certas propriedades matemáticas. No caso, a transformação T leva vetores de R^2 para R^3 . O objetivo aqui é encontrar o vetor x = (x1, x2) que, quando aplicado na transformação T , resulta no vetor (0, -1, -4) . Para isso, vamos resolver um sistema de equações lineares utilizando a definição da transformação T .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação T de forma explícita. Sabemos que:
T(x1, x2) = (2x1 - x2, -3x1 + x2, 2x1 - 3x2)
Queremos que T(x1, x2) = (0, -1, -4) . Isso significa que cada componente de T(x1, x2) deve ser igual ao correspondente componente do vetor (0, -1, -4) .

Passo 3

Vamos estabelecer um sistema de equações igualando cada componente:
  1. 2x1 - x2 = 0
  2. -3x1 + x2 = -1
  3. 2x1 - 3x2 = -4
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( x1 e x2 ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x1 e x2 .

Passo 4

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar x1 e x2 .
  1. Da primeira equação: 2x1 - x2 = 0
    Podemos isolar x2 :
x2 = 2x1
  1. Agora, substituímos x2 = 2x1 na segunda equação:
-3x1 + (2x1) = -1 implies -x1 = -1 implies x1 = 1
  1. Com x1 = 1 , substituímos de volta para encontrar x2 :
x2 = 2(1) = 2

Passo 5

Agora que temos x1 = 1 e x2 = 2 , vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação do sistema:
2x1 - 3x2 = 2(1) - 3(2) = 2 - 6 = -4
Como ambos os lados da equação são iguais ( -4 = -4 ), nossos valores estão corretos.

Resposta

O vetor x que satisfaz T(x) = (0, -1, -4) é:
x = (1, 2)

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