Dada a rotação de Givens em R^3. Determine a e b,
[ccc a & 0 & -b 0 & 1 & 0 b & 0 & a ][l 2 3 4 ]=[c 2 raiz5 3 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem uma matriz que representa uma rotação de Givens em R^3. Essa matriz está multiplicando o vetor 2 3 4 e o resultado dessa multiplicação é 2raiz5 3 0 . Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem isso acontecer. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e igualar os resultados para achar a e b.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar uma matriz por um vetor. Se temos uma matriz M = m11 & m12 & m13 m21 & m22 & m23 m31 & m32 & m33 e um vetor v = v1 v2 v3 , a multiplicação M cdot v resulta em um novo vetor cujas entradas são calculadas assim:
m11v1 + m12v2 + m13v3 m21v1 + m22v2 + m23v3 m31v1 + m32v2 + m33v3
No nosso caso, a matriz é:
a & 0 & -b 0 & 1 & 0 b & 0 & a
e o vetor é 2 3 4 . Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 3

Vamos multiplicar a primeira linha da matriz pelo vetor:
a cdot 2 + 0 cdot 3 + (-b) cdot 4 = 2a - 4b
Essa deve ser igual à primeira entrada do vetor resultante, que é 2raiz5. Então temos a primeira equação:
2a - 4b = 2raiz5

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a segunda linha da matriz pelo vetor:
0 cdot 2 + 1 cdot 3 + 0 cdot 4 = 3
Essa já está igual à segunda entrada do vetor resultante, que é 3. Isso nos confirma que essa parte está correta, mas não nos dá informações novas sobre a ou b.

Passo 5

Por último, vamos multiplicar a terceira linha da matriz pelo vetor:
b cdot 2 + 0 cdot 3 + a cdot 4 = 2b + 4a
Essa deve ser igual à terceira entrada do vetor resultante, que é 0. Então temos a segunda equação:
2b + 4a = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2a - 4b = 2raiz5 2b + 4a = 0
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo tudo por 2:
b + 2a = 0 Rightarrow b = -2a
Agora substituímos b na primeira equação:
2a - 4(-2a) = 2raiz5 2a + 8a = 2raiz5 10a = 2raiz5 a = 2raiz510 = raiz55

Passo 7

Com o valor de a encontrado, vamos substituir de volta na expressão b = -2a:
b = -2 cdot raiz55 = -2raiz55

Resposta

Os valores são a = dfracraiz55 e b = -dfrac2raiz55.

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