Seja W o conjunto de todos os vetores da forma [c2 lambda+4 gamma 2 lambda 2 lambda-3 gamma 5 gamma]. Mostre que W é um subespaço de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um conjunto de vetores chamado W, que é formado por vetores com uma certa estrutura. A missão é mostrar que esse conjunto W é um subespaço do espaço R^4. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de R^n é um conjunto que satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores do conjunto e os somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em [\mathcal{W})
O vetor zero em é . Vamos ver se existe algum valor de e que torne igual a esse vetor.
Temos:
Da segunda equação, . Da quarta equação, implica . Substituindo na primeira e terceira, confirmamos que todas as componentes são zero. Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se W é fechado sob adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer de W:
u = 2lambda1 + 4gamma1 2lambda1 2lambda1 - 3gamma1 5gamma1, v = 2lambda2 + 4gamma2 2lambda2 2lambda2 - 3gamma2 5gamma2
Vamos somar u + v:
u + v = 2(lambda1 + lambda2) + 4(gamma1 + gamma2) 2(lambda1 + lambda2) 2(lambda1 + lambda2) - 3(gamma1 + gamma2) 5(gamma1 + gamma2)
Observamos que esse vetor também tem a mesma estrutura, com novos valores de lambda = lambda1 + lambda2 e gamma = gamma1 + gamma2. Ou seja, a soma de dois vetores de W ainda está em W.

Passo 5

3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer de W:
u = 2lambda + 4gamma 2lambda 2lambda - 3gamma 5gamma
E multiplicar por um escalar c:
cu = c(2lambda + 4gamma) c(2lambda) c(2lambda - 3gamma) c(5gamma) = 2(clambda) + 4(cgamma) 2(clambda) 2(clambda) - 3(cgamma) 5(cgamma)
Podemos ver que o vetor resultante também tem a mesma estrutura, com lambda' = clambda e gamma' = cgamma. Portanto, cu pertence a W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é realmente um subespaço de R^4.

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