Seja T: R^2 R^2 a transformação que primeiro realiza um cisalhamento horizontal, que leva e2 em e2-0,5 e1 e, depois, reflete o resultado no eixo x2. Assuma que T é linear, encontre sua matriz canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares no plano, especificamente um cisalhamento horizontal seguido de uma reflexão no eixo x2. Para encontrar a matriz canônica dessa transformação T, vamos precisar entender como essas operações afetam os vetores da base padrão e, então, montar a matriz correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cisalhamento horizontal. O cisalhamento horizontal é uma transformação que “empurra” os pontos horizontalmente sem alterar a coordenada x2. No nosso caso, a transformação leva o vetor base e2 a e2 - 0,5,e1. Isso significa que, após o cisalhamento, e2 será transformado em um novo vetor que foi “puxado” 0,5 unidades na direção de e1.
A matriz de cisalhamento horizontal geral tem a forma:
S = 1 & k 0 & 1
Onde k é o fator de cisalhamento. No nosso caso, queremos que:
S cdot e2 = e2 - 0,5,e1
Vamos calcular:
S cdot e2 = 1 & k 0 & 1 0 1 = k 1
Igualando a e2 - 0,5,e1 = -0,5 1 , temos:
k = -0,5
Portanto, a matriz de cisalhamento S é:
S = 1 & -0,5 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos tratar da reflexão no eixo x2. A reflexão em relação ao eixo x2 inverte a coordenada x1 de qualquer vetor, mantendo x2 inalterado. A matriz de reflexão R em relação ao eixo x2 é:
R = -1 & 0 0 & 1

Passo 4

A transformação T é a composição dessas duas transformações: primeiro o cisalhamento S e depois a reflexão R. Para encontrar a matriz canônica de T, precisamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações aplicadas. Lembrando que a aplicação é da direita para a esquerda, ou seja, T = R cdot S.
Vamos realizar a multiplicação:
R cdot S = -1 & 0 0 & 1 1 & -0,5 0 & 1 = (-1)(1) + (0)(0) & (-1)(-0,5) + (0)(1) (0)(1) + (1)(0) & (0)(-0,5) + (1)(1) = -1 & 0,5 0 & 1

Resposta

A matriz canônica da transformação T é:
-1 & 0,5 0 & 1

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