Seja a transformação que primeiro realiza um cisalhamento horizontal, que leva em e, depois, reflete o resultado no eixo . Assuma que é linear, encontre sua matriz canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformações lineares no plano, especificamente um cisalhamento horizontal seguido de uma reflexão no eixo . Para encontrar a matriz canônica dessa transformação , vamos precisar entender como essas operações afetam os vetores da base padrão e, então, montar a matriz correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cisalhamento horizontal. O cisalhamento horizontal é uma transformação que “empurra” os pontos horizontalmente sem alterar a coordenada . No nosso caso, a transformação leva o vetor base a . Isso significa que, após o cisalhamento, será transformado em um novo vetor que foi “puxado” 0,5 unidades na direção de .
A matriz de cisalhamento horizontal geral tem a forma:
Onde k é o fator de cisalhamento. No nosso caso, queremos que:
S cdot e2 = e2 - 0,5,e1
Vamos calcular:
S cdot e2 = 1 & k 0 & 1 0 1 = k 1
Igualando a e2 - 0,5,e1 = -0,5 1 , temos:
k = -0,5
Portanto, a matriz de cisalhamento S é:
S = 1 & -0,5 0 & 1
Passo 3
Agora, vamos tratar da reflexão no eixo x2. A reflexão em relação ao eixo x2 inverte a coordenada x1 de qualquer vetor, mantendo x2 inalterado. A matriz de reflexão R em relação ao eixo x2 é:
R = -1 & 0 0 & 1
Passo 4
A transformação T é a composição dessas duas transformações: primeiro o cisalhamento S e depois a reflexão R. Para encontrar a matriz canônica de T, precisamos multiplicar as matrizes na ordem das transformações aplicadas. Lembrando que a aplicação é da direita para a esquerda, ou seja, T = R cdot S.