Q3. (3,0) Considere o problema:
(a) (1,0) Determine os autovalores da matriz.
(c) (1,0) Escreva a solução geral do sistema.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t} \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
Resolva esse PVI utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a EDO
y''+2y'+y=e^{-t},\quad y(0)=0,\;y'(0)=0:
(a) achar os autovalores da matriz do sistema equivalente de 1ª ordem,
(c) escrever a solução geral desse sistema,
e em seguida resolver o PVI pelo método da transformada de Laplace.

Passo 2

Convertendo em sistema de primeira ordem definimos
x_1=y,\quad x_2=y',
então
\begin{pmatrix}x_1'\x_2'\end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&-2\end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}e^{-t}.
Para achar os autovalores resolvemos
\det(\lambda I - A) =\det\begin{pmatrix}\lambda&-1\\\ 1&\lambda+2\end{pmatrix} =\lambda(\lambda+2)+1 =\lambda^2+2\lambda+1=0,
cuja raiz dupla é
\lambda=-1\quad(\text{multiplicidade 2}).

Passo 3

A solução geral do sistema homogêneo X'=AX com autovalor -1 duplamente degenerado é
X_h(t) =\bigl(C_1 v + C_2 (v\,t+w)\bigr)e^{-t},
o que no componente y=x_1
y_h(t)=(C_1 + C_2\,t)e^{-t}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace ao PVI. Denotando
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s),
temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac1{s+1}.
Substituindo em \;y''+2y'+y=e^{-t},
(s^2+2s+1)Y(s)=\frac1{s+1}\quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac1{(s+1)^3}.

Passo 5

Para inverter usamos a fórmula padrão
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac1{(s+1)^3}\Bigr\} =\frac{t^2}{2}e^{-t}.
Logo a solução do PVI é
y(t)=\frac{t^2}{2}e^{-t}.

Resposta

Autovalores: \lambda=-1 (dupla).
Solução geral do homogêneo: y_h(t)=(C_1+C_2\,t)e^{-t}.
Solução do PVI:
y(t)=\frac{t^2}{2}e^{-t}.

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