Q3. (3,0) Considere o problema:
(a) (1,0) Determine os autovalores da matriz.
(c) (1,0) Escreva a solução geral do sistema.
Resolva esse PVI utilizando a transformada de Laplace.
(a) (1,0) Determine os autovalores da matriz.
(c) (1,0) Escreva a solução geral do sistema.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a EDO
(a) achar os autovalores da matriz do sistema equivalente de
ª ordem,
(c) escrever a solução geral desse sistema,
e em seguida resolver o PVI pelo método da transformada de Laplace.
(c) escrever a solução geral desse sistema,
e em seguida resolver o PVI pelo método da transformada de Laplace.
Passo 2
Convertendo em sistema de primeira ordem definimos
então
Para achar os autovalores resolvemos
cuja raiz dupla é
Passo 3
A solução geral do sistema homogêneo
com autovalor
duplamente degenerado é
o que no componente
dá
Passo 4
Agora aplicamos a transformada de Laplace ao PVI. Denotando
temos
Substituindo em
,
Passo 5
Para inverter usamos a fórmula padrão
Logo a solução do PVI é
Resposta
Autovalores:
(dupla).
Solução geral do homogêneo: .
Solução do PVI:
Solução geral do homogêneo:
Solução do PVI: