Q4. (3,0) Considere o sistema
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right) \mathbf{x}
(a) (1,0) Determine os autovalores da matriz.
(b) (1,0) Determine os autovetores da matriz. Se necessário, encontre um autovetor generalizado.
(c) (1,0) Escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},\quad A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix},
e pede: (a) os autovalores de A, (b) os autovetores (e, se preciso, um autovetor generalizado) e (c) a solução geral do sistema. Para isso, usaremos o método padrão de diagonalização: primeiro a equação característica para achar os autovalores, depois resolvemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada \lambda, e em seguida montamos a combinação linear das soluções exponenciais.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 \\[3pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)\,(-1-\lambda).
As raízes desta expressão são
3-\lambda=0\\ \Rightarrow\\ \lambda=3, \qquad -1-\lambda=0\\ \Rightarrow\\ \lambda=-1.
Logo, os autovalores são \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=-1.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=3 resolvemos
(A - 3I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\\ v_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem -4\,v_{2}=0\implies v_{2}=0, e v_{1} fica livre. Escolhemos
\mathbf{v}^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-1 resolvemos
(A + I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\\ v_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
da primeira linha 4\,v_{1}=0\implies v_{1}=0, e v_{2} é livre. Tomamos
\mathbf{v}^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Como temos dois autovalores distintos com seus autovetores independentes, não precisamos de nenhum autovetor generalizado.]

Passo 4

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções associadas a cada autovalor, ou seja
\mathbf{x}(t) = C_{1}\,e^{3t}\,\mathbf{v}^{(1)} + C_{2}\,e^{-t}\,\mathbf{v}^{(2)},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes determinadas pelas condições iniciais.ãçõ

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=-1.
(b) Os autovetores correspondentes são \mathbf{v}^{(1)}=(1,0)^{T} e \mathbf{v}^{(2)}=(0,1)^{T}.
(c) A solução geral é
\mathbf{x}(t) = C_{1}\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados