Q3. (3,0) Considere o problema:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t} \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
Resolva esse PVI utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
\begin{cases} y'' + 2\,y' + y = e^{-t},\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de \mathcal{L}\{e^{-t}\}=1/(s+1).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
\mathcal{L}\{y''\} + 2\,\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Usando as fórmulas, o lado esquerdo vira
(s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)) + 2\,(sY(s) - y(0)) + Y(s).

Passo 3

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=0, a expressão fica
(s^2 + 2s + 1)\,Y(s) = \frac{1}{s+1}.
Como s^2+2s+1=(s+1)^2, temos
Y(s) = \frac{1}{(s+1)^2}\,\cdot\frac{1}{s+1} = \frac{1}{(s+1)^3}.

Passo 4

Para inverter, usamos a propriedade
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s+a)^n}\Big\} = \frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{-a t}.
Aqui n=3 e a=1, logo
y(t) = \frac{t^2}{2!}\,e^{-t} = \frac{t^2}{2}\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=\frac{t^2}{2}\,e^{-t}.

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