Considere um problema de difusão de calor numa barra de comprimento L, coeficiente de difusão \alpha, cujas extremidades estão isoladas, isto é, não há fluxo de calor através delas. Assuma que inicialmente a temperatura é distribuída conforme uma função f(x).
(a) (1 ponto) Escreva o problema que modela este fenômeno.
(b) (1 ponto) Usando o método de separação de variáveis, obtenha as EDO’s para X (com suas condições de fronteira) e para T (justifique cada passo).
(c) (1 ponto) Resolva o problema de autovalores de X, e conclua que os autovalores devem ser \lambda_{n}=n^{2} \pi^{2} / L^{2} com autofunções associadas X_{n}^{\prime}(x)=\cos (n \pi x / L), n=0,1,2, \ldots.
(d) (1 ponto) Com tais valores de \lambda, encontre as soluções da equação de T.
(e) (1 ponto) Apresente as soluções fundamentais e a combinação linear delas que fornece a solução do problema.

Passo 1

O enunciado pede o modelo de difusão de calor numa barra 0\le x\le L com extremidades isoladas e condição inicial u(x,0)=f(x). O conteúdo é a equação de calor unidimensional. Assim, o problema é:
\begin{cases} u_{t}(x,t)=\alpha^{2}\,u_{xx}(x,t),&0<x<L,\;t>0,\\\ u_{x}(0,t)=0,\;u_{x}(L,t)=0,&t>0,\\\ u(x,0)=f(x),&0\le x\le L. \end{cases}

Passo 2

Assumimos solução do tipo separável u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE:
X(x)\,T'(t)=\alpha^{2}\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por \alpha^{2}X(x)T(t) obtemos
\frac{T'(t)}{\alpha^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde -\lambda é constante de separação. Assim surgem duas EDOs:
X''(x)+\lambda\,X(x)=0, \quad T'(t)+\alpha^{2}\,\lambda\,T(t)=0,
com as condições de fronteira em X dadas por u_x(0,t)=X'(0)T(t)=0 e u_x(L,t)=X'(L)T(t)=0, ou seja,
X'(0)=0, \quad X'(L)=0.

Passo 3

O problema de autovalores em X é
X''+\lambda X=0,\quad X'(0)=0,\;X'(L)=0.
  • Caso \lambda=0: X''=0 X(x)=A+Bx e BC forçam B=0, logo X_{0}(x)=\text{const}, \lambda_{0}=0.
  • Caso \lambda>0: ponha \lambda=\mu^{2}. A solução geral é
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
BC em x=0 X'(0)=-A\,\mu\sin0+B\,\mu\cos0=B\,\mu=0\implies B=0. Em x=L vem
X'(L)=-A\,\mu\sin(\mu L)=0\implies\sin(\mu L)=0\implies \mu L=n\pi,\;n=1,2,\dots
Logo
\lambda_{n}=\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad X_{n}(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),\;n=0,1,2,\dots.

Passo 4

Para cada \lambda_{n}, a EDO em T é
T'(t)+\alpha^{2}\,\lambda_{n}\,T(t)=0,
cuja solução é
T_{n}(t)=C_{n}\,\exp\!\bigl(-\alpha^{2}\lambda_{n}\,t\bigr) =C_{n}\,\exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 5

As soluções fundamentais são
u_{n}(x,t)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr), \quad n=0,1,2,\dots
A solução geral que satisfaz u(x,0)=f(x) é a série de cossenos:
u(x,t)=A_{0} +\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr),
onde
A_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx,\;n\ge1.

Resposta

(a)
\begin{cases} u_{t}=\alpha^{2}u_{xx},&0<x<L,\;t>0,\\\ u_{x}(0,t)=0,\;u_{x}(L,t)=0,&t>0,\\\ u(x,0)=f(x),&0\le x\le L. \end{cases}
(b) Assumindo u=X(x)T(t), obtemos
X''+\lambda X=0,\;X'(0)=X'(L)=0, \quad T'+\alpha^{2}\lambda T=0.
(c) As condições Neumann em X levam a
\lambda_{n}=(n\pi/L)^{2}, X_{n}(x)=\cos(n\pi x/L).
(d) Para cada \lambda_{n},
T_{n}(t)=C_{n}\exp\!\bigl(-\alpha^{2}n^{2}\pi^{2}t/L^{2}\bigr).
(e) A forma geral é
u(x,t)=A_{0} +\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr) \exp\!\bigl(-\alpha^{2}n^{2}\pi^{2}t/L^{2}\bigr),
com A_{0}=\tfrac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx e
A_{n}=\tfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos(n\pi x/L)\,dx.

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