Seja f(x, y)=\ln (x+y).
a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
b) Mostre que para todo (x, y), com x+y>1,
\ln (x+y)-(x+y-1)<\frac{1}{2}(x+y-1)^{2}
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)=\ln(x+y)
e pede:
O polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).
Mostrar que, para todo (x,y) com x+y>1, vale
\ln(x+y)-(x+y-1)<\tfrac12\,(x+y-1)^{2}.
O conteúdo envolvido é expansão de Taylor de primeira ordem em várias variáveis e análise de sinal de um resto via função univariada.
Passo 2
Para obter o polinômio de ordem 1 em \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) precisamos de f\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr), \partial f/\partial x e \partial f/\partial y naquele ponto.
As derivadas parciais são