Seja f(x, y)=\ln (x+y).
a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
b) Mostre que para todo (x, y), com x+y>1,
\ln (x+y)-(x+y-1)<\frac{1}{2}(x+y-1)^{2}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\ln(x+y)
e pede:
  1. O polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).
  2. Mostrar que, para todo (x,y) com x+y>1, vale
\ln(x+y)-(x+y-1)<\tfrac12\,(x+y-1)^{2}.
O conteúdo envolvido é expansão de Taylor de primeira ordem em várias variáveis e análise de sinal de um resto via função univariada.

Passo 2

Para obter o polinômio de ordem 1 em \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) precisamos de f\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr), \partial f/\partial x e \partial f/\partial y naquele ponto.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x+y}.
Em \bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) temos x+y=1, logo
f\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)=\ln1=0, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{\!(\tfrac12,\tfrac12)}=1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{\!(\tfrac12,\tfrac12)}=1.
Então o polinômio de Taylor de ordem 1 é
P_{1}(x,y) =0 + 1\,(x-\tfrac12) +1\,(y-\tfrac12) = x+y-1.

Passo 3

Para provar a desigualdade usemos a soma s=x+y. Defina a função univariada
h(s)=\ln s - (s-1) - \tfrac12\,(s-1)^{2},
para s>1. Então
h'(s)=\frac{1}{s} -1 - (s-1) =\frac{1 - s^{2}}{s} =-\frac{s^{2}-1}{s}.
Como s>1 segue s^{2}-1>0 e h'(s)<0. Portanto h é estritamente decrescente em (1,\infty).

Passo 4

Como h é decrescente e
\lim_{s\to1^{+}}h(s) =\ln1 -0 -0 =0,
depreende-se que, para todo s>1, h(s)<0. Voltando a s=x+y, isso é exatamente
\ln(x+y)-(x+y-1)<\tfrac12\,(x+y-1)^{2},
como queríamos.

Resposta

(a) P_{1}(x,y)=x+y-1.
(b) Válido porque, definindo s=x+y, a função
h(s)=\ln s - (s-1) - \tfrac12\,(s-1)^{2}
é decrescente em s>1 e h(1)=0, de modo que h(s)<0 para s>1.

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