(2 pontos) Encontre a solução estado estacionário da equação \alpha^{2} u_{x x}=u_{t} que representa a difusão do calor numa barra de comprimento L=5, que satisfaz as condições de contorno u_{x}(0, t)=0 e u(5, t)=9.

Passo 1

O enunciado pede a solução em regime permanente (estado estacionário) da equação de calor unidimensional
\alpha^{2}\,u_{xx}=u_{t}
numa barra de comprimento L=5, sujeita a
\,u_{x}(0,t)=0 (neumann em x=0) e \,u(5,t)=9 (dirichlet em x=5).
Em regime permanente temos u_{t}=0, portanto reduzimos o problema a uma ODE em x.

Passo 2

Como u_{t}=0, a PDE fica
\alpha^{2}\,u''(x)=0
ou seja
u''(x)=0.

Passo 3

Integramos essa ODE duas vezes em x. A primitiva de 0 é uma constante, então
u'(x)=A,
e integrando novamente
u(x)=A\,x+B,
onde A e B são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Agora aplicamos as condições de contorno:
  1. Em x=0 temos u_{x}(0)=0, ou seja u'(0)=A=0.
  2. Em x=5 temos u(5)=9, e como A=0 isso dá u(5)=0\cdot5+B=B=9.
Logo A=0 e B=9.

Resposta

A solução em estado estacionário é
u(x)=9,\quad 0\le x\le5.

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