(2 pontos) Encontre a solução estado estacionário da equação
que representa a difusão do calor numa barra de comprimento
, que satisfaz as condições de contorno
e
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em regime permanente (estado estacionário) da equação de calor unidimensional
numa barra de comprimento
, sujeita a
(neumann em
) e
(dirichlet em
).
Em regime permanente temos , portanto reduzimos o problema a uma ODE em
.
Em regime permanente temos
Passo 2
Como
, a PDE fica
ou seja
Passo 3
Integramos essa ODE duas vezes em
. A primitiva de
é uma constante, então
e integrando novamente
onde
e
são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Agora aplicamos as condições de contorno:
- Em
temos , ou seja - Em
temos , e como isso dá
Logo
e
.
Resposta
A solução em estado estacionário é