Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
y d x=2(x+y) d y

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y\,dx = 2(x+y)\,dy
usando uma substituição apropriada, pois os termos são homogêneos de mesmo grau. Vamos usar a substituição
v = \frac{x}{y}.

Passo 2

Da substituição x = v\,y segue
dx = v\,dy + y\,dv.

Passo 3

Substituindo em y\,dx = 2(x+y)\,dy obtemos
y\bigl(v\,dy + y\,dv\bigr) = 2\bigl(v\,y + y\bigr)\,dy,
ou seja
y\,v\,dy + y^2\,dv = 2y(v+1)\,dy.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por y e recolhendo termos em dv e dy, temos
v\,dy + y\,dv = 2(v+1)\,dy \quad\Longrightarrow\quad y\,dv = (2v + 2 - v)\,dy = (v+2)\,dy
e assim
\frac{dv}{v+2} = \frac{dy}{y}.

Passo 5

Integrando ambos os lados resulta
\ln\bigl|v+2\bigr| = \ln\bigl|y\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Exponenciando e voltando à variável x, com v = x/y, obtemos
v + 2 = C\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} + 2 = C\,y \quad\Longrightarrow\quad x = C\,y^2 - 2y
ou de forma implícita
x + 2y = C\,y^2.

Resposta

A solução geral é
x + 2y = C\,y^2,
onde C é a constante de integração.

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