Considere o problema de encontrar o zero da função
no intervalo
usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz de
no intervalo
usando iteração de ponto fixo. Para estudar a convergência de
vamos usar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que exige essencialmente duas coisas:
-
é um mapeamento de em si mesmo; - existe
tal que para todo no intervalo, garantindo contracção.
Passo 2
Analisando
:
logo
No intervalo
temos
Como
em todo o intervalo,
não é contracção e o método NÃO converge.
Passo 3
Analisando
:
portanto
No intervalo
isso dá
ou seja,
. Assim
é contracção com constante
e o método converge linearmente para a raiz.
Resposta
(a) Não converge.
(b) Converge.
(b) Converge.