Considere o problema de encontrar o zero da função f(x)=x+ln (x) no intervalo [0.5,0.6] usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
(a) varphi(x)=-ln (x);
(b) varphi(x)=e^-x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de
f(x)=x+ln(x)
no intervalo [0,5,,0,6] usando iteração de ponto fixo. Para estudar a convergência de
xk+1 = varphi(xk)
vamos usar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que exige essencialmente duas coisas:
  1. varphi é um mapeamento de [0,5,,0,6] em si mesmo;
  2. existe L<1 tal que lvert varphi'(x)rvert<= L para todo x no intervalo, garantindo contracção.

Passo 2

Analisando varphi(x)=-ln(x):
varphi'(x) = -1x,
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lvert varphi'(x)rvert = 1x
No intervalo xin[0,5,,0,6] temos
min[0,5,0,6]1x = 10,6approx1,667, max[0,5,0,6]1x = 10,5=2
Como lvertvarphi'(x)rvert>1 em todo o intervalo, varphi não é contracção e o método NÃO converge.

Passo 3

Analisando varphi(x)=e^-x:
varphi'(x) = -e^-x,
portanto
lvert varphi'(x)rvert = e^-x
No intervalo xin[0,5,,0,6] isso dá
e^-0,6approx0,549 <= lvert varphi'(x)rvert <= e^-0,5approx0,607,
ou seja, lvert varphi'(x)rvert < 1. Assim varphi é contracção com constante L=e^-0,5<1 e o método converge linearmente para a raiz.

Resposta

(a) Não converge.
(b) Converge.

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