Suponha que você deseja calcular b / a em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
(a) Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular 1 / a (dica: note que 1 / a é o zero de f(x)=1 / x-a).
(b) Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial x0 está no intervalo [1 / 2 a, 3 / 2 a].
(c) Usando o método do item (a) calcule 10 / 9 neste computador.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compute tfracba num computador que só sabe somar, subtrair e multiplicar. A ideia geral é primeiro achar 1/a e depois multiplicar por b. Para encontrar 1/a vamos usar o método de Newton aplicado à função cujo zero é 1/a.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=1x-a,
cuja derivada é
f'(x)=-1x^2
O método de Newton diz
xn+1=xn - f(xn)f'(xn) =xn - tfrac1xn-a-tfrac1xn^2 =xn +l(tfrac1xn-ar),xn^2 =2xn -a,xn^2
Logo, iteramos
boxedxn+1=xn,(2 - a,xn)

Passo 3

Defina yn = a cdot xn. Então
yn+1 = a cdot xn+1 = a cdot xn cdot (2 - a cdot xn) = 2 yn - yn^2 = 1 - (1 - yn)^2
Seja en = 1 - yn; então
en+1 = (1 - yn+1) = (1 - yn)^2 = en^2
Isso mostra convergência quadrática sempre que lvert e0 rvert < 1, i.e.
lvert 1 - y0 rvert < 1 Long<=ftrightarrow 0 < y0 < 2 Long<=ftrightarrow 0 < a cdot x0 < 2 Long<=ftrightarrow x0 in l(0, 2a r)
Mais precisamente, se x0 in l[ tfrac12a, tfrac32a r] então y0 = a cdot x0 in [tfrac12, tfrac32], logo lvert 1 - y0 rvert <= tfrac12 < 1 e o método converge.

Passo 4

Queremos tfrac109=10cdottfrac19. Tomemos a=9 e escolha inicial confortável, por exemplo
x0=0,1inl[tfrac118,tfrac318r]
Iterando
x1=2x0-9x0^2=2(0,1)-9(0,1)^2=0,11,
x2=2(0,11)-9(0,11)^2=0,22-9cdot0,0121 =0,22-0,1089=0,1111,
x3=2(0,1111)-9(0,1111)^2 =0,2222-9cdot0,01234521 approx0,2222-0,1111069 =0,1110931
Aproximação de 1/9 já está boa. Finalmente
109 =10,x3 approx10times0,1110931 =1,110931

Resposta

Usando Newton e x0=0,1 obtemos
109approx1,11093

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