Suponha que você deseja calcular
em um computador capaz de somente somar, subtrair e multiplicar. Responda:
(a) Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular
(dica: note que
é o zero de
.
(b) Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial
está no intervalo
.
(c) Usando o método do item (a) calcule
neste computador.
(a) Use o método de Newton para estabelecer uma forma de calcular
(b) Mostre que o método de Newton converge quando o ponto inicial
(c) Usando o método do item (a) calcule
Passo 1
O enunciado pede que a gente compute
num computador que só sabe somar, subtrair e multiplicar. A ideia geral é primeiro achar
e depois multiplicar por
. Para encontrar
vamos usar o método de Newton aplicado à função cujo zero é
.
Passo 2
Escolhemos
cuja derivada é
O método de Newton diz
Logo, iteramos
Passo 3
Defina
. Então
Seja
; então
Isso mostra convergência quadrática sempre que
, i.e.
Mais precisamente, se
então
, logo
e o método converge.
Passo 4
Queremos
. Tomemos
e escolha inicial confortável, por exemplo
Iterando
Aproximação de
já está boa. Finalmente
Resposta
Usando Newton e
obtemos