Considere o problema de estimação do ganho no Exercício 8-4.
Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio-padrão sigma=20 e barx=1.000.
(a) Quão grande n tem de ser, se o comprimento do IC de 95 % deve ser 40 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos encontrar o tamanho da amostra $ n $ necessário para estimar o ganho de um circuito semicondutor com um intervalo de confiança de $ 95% $ que tenha comprimento igual a $ 40 $. Sabemos que o ganho segue uma distribuição normal com desvio-padrão $ \sigma = 20 $ e média amostral $ \bar{x} = 1000 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos de confiança na estatística, especificamente relacionados à distribuição normal.

Passo 2

Um intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal, quando o desvio-padrão é conhecido, é dado por:
IC = barx pm zalpha/2 ( sigmaraizn )
Aqui, $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado. Para um intervalo de confiança de $ 95% $, $ \alpha = 0,05 $ e $ z_{\alpha/2} = 1,96 $.

Passo 3

O comprimento do intervalo de confiança $ L $ é a diferença entre os limites superior e inferior:
L
Queremos que $ L = 40 $. Vamos substituir os valores conhecidos nessa equação para encontrar $ n $.

Passo 4

Substituindo os valores na equação do comprimento:
40 = 2 times 1,96 times ( 20raizn )
Simplificando a equação:
40 = 3,92 times ( 20raizn )

Passo 5

Vamos isolar $ \sqrt{n} $ na equação:
raizn
raizn = 3,92 times 2040

Passo 6

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
n
Como o tamanho da amostra $ n $ deve ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Passo 7

Arredondando $ n = 3,8416 $ para o número inteiro mais próximo, temos:
n = 3,8416

Resposta

O tamanho da amostra necessário é $ n = 4 $.

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