Considere o problema de estimação do ganho no Exercício 8-4.
Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio-padrão sigma=20 e barx=1.000.
(b) Quão grande n tem de ser, se o comprimento do IC de 99 % deve ser 40 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, queremos descobrir qual o tamanho da amostra $ n $ que precisamos para estimar o ganho de um circuito semicondutor com um intervalo de confiança (IC) de 99% que tenha comprimento 40. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal é dado por:
barx pm zalpha/2 ( sigmaraizn )
Aqui:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra,
  • $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão da população,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 3

O comprimento do intervalo de confiança é a diferença entre o limite superior e o limite inferior, que é:
2 times zalpha/2 ( sigmaraizn )
Queremos que esse comprimento seja igual a 40. Então, temos:
2 times zalpha/2 ( 20raizn ) = 40

Passo 4

Agora, vamos descobrir o valor de $ z_{\alpha/2} $ para um intervalo de confiança de 99%. Sabemos que para 99%, $ \alpha = 1 - 0.99 = 0.01 $, então $ \alpha/2 = 0.005 $.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que:
zalpha/2

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na equação:
2 times 2.576 ( 20raizn ) = 40
Simplificando:
5.152 ( 20raizn ) = 40

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \sqrt{n} $:
raizn
5.152 times 2040 = raizn
103.0440 = raizn

Passo 7

Para encontrar $ n $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
n
n = (2.576)^2
Como o tamanho da amostra $ n $ precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n approx 6.635

Resposta

O tamanho da amostra necessário é 7.

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