Considere o problema de estimação do ganho no Exercício 8-4.
Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio-padrão
e
.
(b) Quão grande n tem de ser, se o comprimento do IC de
deve ser 40 ?
Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio-padrão
(b) Quão grande n tem de ser, se o comprimento do IC de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, queremos descobrir qual o tamanho da amostra $ n $ que precisamos para estimar o ganho de um circuito semicondutor com um intervalo de confiança (IC) de 99% que tenha comprimento 40. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal é dado por:
Aqui:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra,
- $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
- $ \sigma $ é o desvio-padrão da população,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 3
O comprimento do intervalo de confiança é a diferença entre o limite superior e o limite inferior, que é:
Queremos que esse comprimento seja igual a 40. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos descobrir o valor de $ z_{\alpha/2} $ para um intervalo de confiança de 99%. Sabemos que para 99%, $ \alpha = 1 - 0.99 = 0.01 $, então $ \alpha/2 = 0.005 $.
Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \sqrt{n} $:
Passo 7
Para encontrar $ n $, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Como o tamanho da amostra $ n $ precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é 7.