Uma fábrica afirma que o peso médio de seus pacotes de farinha é de 1 kg . Uma auditoria foi realizada, e uma amostra de 10 pacotes apresentou os seguintes pesos (em kg): 1.02,0.98,1.03,0.97,1.01,1.00,0.99,1.02,0.96,1.04.
Com um nível de significância de 5 %, teste a hipótese nula H 0: mu=1 kg contra a hipótese alternativa На: mu neq 1 kg. (1,0)
Determine o valor crítico e conclua o teste.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma fábrica que afirma que o peso médio dos pacotes de farinha é de 1 kg. Para verificar essa afirmação, foi feita uma auditoria onde foi pesado uma amostra de 10 pacotes, com os seguintes pesos: 1.02, 0.98, 1.03, 0.97, 1.01, 1.00, 0.99, 1.02, 0.96, 1.04 kg. Nosso objetivo aqui é realizar um teste de hipótese para determinar se o peso médio real dos pacotes difere de 1 kg. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados a testes t.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média dos pesos da amostra. A média ( barx) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 1.02 + 0.98 + 1.03 + 0.97 + 1.01 + 1.00 + 0.99 + 1.02 + 0.96 + 1.0410 = 10.0210 = 1.002 , kg

Passo 3

Em seguida, calculamos o desvio padrão da amostra ( s). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores individuais diferem da média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre o peso de cada pacote e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e dividimos pelo número de observações menos um. Por fim, tiramos a raiz quadrada desse valor.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando:
(1.02 - 1.002)^2 &= 0.000324 (0.98 - 1.002)^2 &= 0.000484 (1.03 - 1.002)^2 &= 0.000784 (0.97 - 1.002)^2 &= 0.001024 (1.01 - 1.002)^2 &= 0.000064 (1.00 - 1.002)^2 &= 0.000004 (0.99 - 1.002)^2 &= 0.000144 (1.02 - 1.002)^2 &= 0.000324 (0.96 - 1.002)^2 &= 0.001824 (1.04 - 1.002)^2 &= 0.001444
Somando esses valores:
0.000324 + 0.000484 + 0.000784 + 0.001024 + 0.000064 + 0.000004 + 0.000144 + 0.000324 + 0.001824 + 0.001444 = 0.0056
Agora, dividimos por n - 1 = 10 - 1 = 9:
0.00569 = 0.000622
E tiramos a raiz quadrada:
s = raiz0.000622 approx 0.0249 , kg

Passo 4

Agora, calculamos o erro padrão da média ( SE), que nos ajuda a entender a precisão da nossa estimativa da média.
SE = sraizn = 0.0249raiz10 approx 0.02493.162 approx 0.0079 , kg

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor t usando a fórmula do teste t:
t = barx - mu0SE = 1.002 - 10.0079 approx 0.0020.0079 approx 0.253
Onde:
  • barx é a média da amostra
  • mu0 é a média hipotética (1 kg)
  • SE é o erro padrão da média

Passo 6

Agora precisamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como estamos usando um nível de significância de 5% ( alpha = 0.05) e o teste é bicaudal (pois a hipótese alternativa é mu neq 1, kg), vamos buscar o valor crítico na tabela de Student para n - 1 = 9 graus de liberdade.
Consultando a tabela, para alpha/2 = 0.025 em cada extremidade e 9 graus de liberdade, o valor crítico é aproximadamente 2.262.

Passo 7

Comparamos o valor t calculado (0.253) com o valor crítico (2.262).
  • Se |t| > 2.262, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |t| <= 2.262, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
0.253 < 2.262

Resposta

Como o valor t calculado (0.253) é menor que o valor crítico (2.262), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que o peso médio dos pacotes de farinha difere de 1 kg.

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