Considere o problema:
\frac{d \varphi}{d t}=\varphi t^{2}-1,1 \varphi,
\operatorname{com} \varphi(0)=2. Use o método RK clássico de 4^{\mathrm{a}} ordem para obter a solução em t=0,5 com passo \Delta t=0,5.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a aproximação em t=0,5 usando passo \Delta t=0,5:
\frac{d\varphi}{dt}=\varphi\,t^{2}-1,1\,\varphi,
com \varphi(0)=2. Vou interpretar o número 1,1 como o decimal 1{,}1 (vírgula decimal padrão em português). A tarefa concreta: usar o método de Runge–Kutta clássico de 4ª ordem (RK4) para obter \varphi(0,5) com um único passo de tamanho \Delta t=0,5.

Passo 2

Apresentação do método RK4 (fórmula e significado). Para um passo de t_n até t_{n+1}=t_n+\Delta t com \varphi_n aproximando \varphi(t_n), o método RK4 define:
k_1 = f(t_n,\varphi_n),
k_2 = f\!\left(t_n+\frac{\Delta t}{2},\,\varphi_n+\frac{\Delta t}{2}k_1\right),
k_3 = f\!\left(t_n+\frac{\Delta t}{2},\,\varphi_n+\frac{\Delta t}{2}k_2\right),
k_4 = f\!\left(t_n+\Delta t,\,\varphi_n+\Delta t\,k_3\right),
e a atualização
\varphi_{n+1}=\varphi_n+\frac{\Delta t}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr).
Explicação simples: k_1 é a inclinação no início do passo, k_2 e k_3 são inclinações médias avaliadas em pontos intermediários, k_4 é a inclinação no fim do passo; a combinação com coeficientes 1,2,2,1 dá a precisão de 4ª ordem. Aqui f(t,\varphi)=\varphi\,t^{2}-1,1\,\varphi.

Passo 3

Simplifico a função do lado direito para facilitar contas:
f(t,\varphi)=\varphi\,(t^{2}-1,1).
Valores iniciais: t_0=0, \varphi_0=2, \Delta t=0,5, \Delta t/2=0,25. Calculo k_1:
k_1=f(0,2)=2\,(0^{2}-1,1)=2\cdot(-1,1)=-2,2.

Passo 4

Calculo k_2. Primeiro a estimativa intermediária de \varphi:
\varphi_0+\frac{\Delta t}{2}k_1 = 2 + 0,25\cdot(-2,2)=2-0,55=1,45.
Agora
k_2=f\!\left(0{,}25,\,1{,}45\right)=1{,}45\bigl(0{,}25^{2}-1{,}1\bigr).
Como 0{,}25^{2}=0{,}0625, temos 0{,}0625-1{,}1=-1{,}0375. Então
k_2=1{,}45\cdot(-1{,}0375)=-1{,}504375.

Passo 5

Calculo k_3. Primeiro o valor intermediário de \varphi:
\varphi_0+\frac{\Delta t}{2}k_2 = 2 + 0,25\cdot(-1{,}504375)=2-0{,}37609375=1{,}62390625.
Então
k_3=f\!\left(0{,}25,\,1{,}62390625\right)=1{,}62390625\bigl(0{,}0625-1{,}1\bigr).
Usando 0{,}0625-1{,}1=-1{,}0375,
k_3=1{,}62390625\cdot(-1{,}0375)=-1{,}684802734375.

Passo 6

Calculo k_4. Primeiro o valor no fim do passo:
\varphi_0+\Delta t\,k_3 = 2 + 0{,}5\cdot(-1{,}684802734375)=2-0{,}8424013671875=1{,}1575986328125.
Agora
k_4=f\!\left(0{,}5,\,1{,}1575986328125\right)=1{,}1575986328125\bigl(0{,}5^{2}-1{,}1\bigr).
Como 0{,}5^{2}=0{,}25, temos 0{,}25-1{,}1=-0{,}85. Logo
k_4=1{,}1575986328125\cdot(-0{,}85)=-0{,}984958837890625.

Passo 7

Combino os ks na fórmula do RK4. Primeiro a soma ponderada:
k_1+2k_2+2k_3+k_4= -2{,}2 + 2(-1{,}504375)+2(-1{,}684802734375)+(-0{,}984958837890625).
Calculando passo a passo:
2(-1{,}504375)=-3{,}00875,\quad 2(-1{,}684802734375)=-3{,}36960546875,
\text{soma}=-2{,}2-3{,}00875-3{,}36960546875-0{,}984958837890625=-9{,}563314306640625.
Fator \Delta t/6=0{,}5/6=\tfrac{1}{12}. Então
\frac{\Delta t}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)=\frac{1}{12}\cdot(-9{,}563314306640625)=-0{,}79694285888671875.
Finalmente a nova aproximação:
\varphi(0{,}5)\approx \varphi_1=\varphi_0 + \frac{\Delta t}{6}(\cdots)=2-0{,}79694285888671875=1{,}20305714111328125.

Resposta

\varphi(0,5)\approx 1,20305714111328125

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