Considere
com condição inicial
. Utilize o método de Euler nas suas versões implícita e explícita para este problema:
Use o método de Euler implícito com passo de
para determinar a solução entre
e
.
Use o método de Euler implícito com passo de
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
com
. Pede-se para usar o método de Euler implícito com passo
para determinar a solução entre
e
. Informações relevantes listadas:
Neste passo eu só enumerei o que o problema dá e o que pede; não resolvi nada ainda.
Passo 2
Vou explicar o método de Euler implícito (aula rápida e prática).
- Dividimos o tempo em pontos
. A aproximação no tempo é . - A fórmula do método de Euler implícito é
Explicando: diferente do Euler explícito (que usa
), aqui a função do lado direito é avaliada no próximo tempo
e depende de
. Por isso normalmente precisamos resolver uma equação (às vezes linear, às vezes não) para obter
.
- Vantagem prática: para problemas stiff (como com coeficiente grande
aqui) o Euler implícito é mais estável; desvantagem: exige resolver para em cada passo. - Exemplo simples de uso: se
for linear em , a equação para costuma ser linear e pode ser isolada explicitamente — é o que faremos agora.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso
. Escrevemos a atualização implícita:
Agora isolamos
. Primeiro, recolhemos os termos com
no lado esquerdo:
Fatorando
obtemos
Portanto a fórmula explícita para o passo implícito é
Aqui cada símbolo significa:
-
: aproximação no tempo . -
: passo de tempo dado. -
. -
: a função conhecida do tempo que aparece na fonte da ODE.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos dados. Temos
,
,
. O primeiro ponto seguinte seria
. Aplicando a fórmula:
Calculando passo a passo:
logo o numerador fica
. Portanto
Se quisermos um valor numérico, usamos
. Assim
e
Portanto o primeiro passo implícito (em
) dá
.
Passo 5
Observação crucial sobre o intervalo pedido: o enunciado pede a solução entre
e
, porém o passo escolhido é
. Com esse passo os nós de tempo são
,
,
, … — não existe nenhum nó em
. Portanto, com exatamente
não se obtêm aproximações em pontos dentro do intervalo aberto
. O único valor que a aplicação do método fornece dentro do intervalo
é o valor inicial
.
Se a intenção for obter uma aproximação em é preciso:
Se a intenção for obter uma aproximação em
- escolher um passo que divida o intervalo, por exemplo
(então ), ou - usar um passo fracionário único
e aplicar a fórmula com esse , ou - aceitar que o primeiro passo de tamanho
fornece em (valor que calculei no passo anterior).
Para ser útil na prova, se te perguntarem “o que acontece sefor maior que o intervalo pedido?” a resposta é: você só tem a condição inicial dentro do intervalo; não há pontos internos calculados.
Resposta
Não é possível obter aproximações em pontos strictamente entre
e
usando
; o único valor no intervalo é
.