Considere
\frac{d \varphi}{d t}=-1000 \varphi+3000-2000 e^{-t}
com condição inicial \varphi(0)=0. Utilize o método de Euler nas suas versões implícita e explícita para este problema:
Use o método de Euler implícito com passo de \Delta t=0,05 para determinar a solução entre t=0 e t=0,04.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária com condição inicial:
\frac{d\varphi}{dt} = -1000\varphi + 3000 - 2000 e^{-t},
com \varphi(0)=0. Pede-se para usar o método de Euler implícito com passo \Delta t=0,05 para determinar a solução entre t=0 e t=0,04. Informações relevantes listadas:
\text{ODE: } \frac{d\varphi}{dt}=f(t,\varphi),\qquad f(t,\varphi)=-1000\varphi+3000-2000e^{-t},
\varphi(0)=0,\qquad \Delta t=0,05,\qquad \text{intervalo pedido: }[0,0,04].
Neste passo eu só enumerei o que o problema dá e o que pede; não resolvi nada ainda.

Passo 2

Vou explicar o método de Euler implícito (aula rápida e prática).
  • Dividimos o tempo em pontos t_n=t_0+n\Delta t. A aproximação no tempo t_n é \varphi_n\approx\varphi(t_n).
  • A fórmula do método de Euler implícito é
\varphi_{n+1}=\varphi_n+\Delta t\; f\bigl(t_{n+1},\varphi_{n+1}\bigr).
Explicando: diferente do Euler explícito (que usa f(t_n,\varphi_n)), aqui a função do lado direito é avaliada no próximo tempo t_{n+1} e depende de \varphi_{n+1}. Por isso normalmente precisamos resolver uma equação (às vezes linear, às vezes não) para obter \varphi_{n+1}.
  • Vantagem prática: para problemas stiff (como com coeficiente grande -1000 aqui) o Euler implícito é mais estável; desvantagem: exige resolver para \varphi_{n+1} em cada passo.
  • Exemplo simples de uso: se f for linear em \varphi, a equação para \varphi_{n+1} costuma ser linear e pode ser isolada explicitamente — é o que faremos agora.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso f. Escrevemos a atualização implícita:
\varphi_{n+1}=\varphi_n+\Delta t\bigl(-1000\varphi_{n+1}+3000-2000e^{-t_{n+1}}\bigr).
Agora isolamos \varphi_{n+1}. Primeiro, recolhemos os termos com \varphi_{n+1} no lado esquerdo:
\varphi_{n+1}+1000\Delta t\,\varphi_{n+1}=\varphi_n+\Delta t\,(3000-2000e^{-t_{n+1}}).
Fatorando \varphi_{n+1} obtemos
\varphi_{n+1}\bigl(1+1000\Delta t\bigr)=\varphi_n+\Delta t\,(3000-2000e^{-t_{n+1}}).
Portanto a fórmula explícita para o passo implícito é
\varphi_{n+1}=\frac{\varphi_n+\Delta t\,(3000-2000e^{-t_{n+1}})}{1+1000\Delta t}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \varphi_n: aproximação no tempo t_n.
  • \Delta t: passo de tempo dado.
  • t_{n+1}=t_n+\Delta t.
  • e^{-t_{n+1}}: a função conhecida do tempo que aparece na fonte da ODE.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos dados. Temos t_0=0, \varphi_0=\varphi(0)=0, \Delta t=0,05. O primeiro ponto seguinte seria t_1=t_0+\Delta t=0,05. Aplicando a fórmula:
\varphi_1=\frac{\varphi_0+\Delta t\,(3000-2000e^{-t_1})}{1+1000\Delta t} =\frac{0+0{,}05\,(3000-2000e^{-0{,}05})}{1+1000\cdot0{,}05}.
Calculando passo a passo:
1+1000\cdot0{,}05=1+50=51.
0{,}05\cdot3000=150,\qquad 0{,}05\cdot2000=100,
logo o numerador fica 150-100e^{-0{,}05}. Portanto
\varphi_1=\frac{150-100e^{-0{,}05}}{51}.
Se quisermos um valor numérico, usamos e^{-0{,}05}\approx0{,}9512294245. Assim
150-100e^{-0{,}05}\approx150-95{,}1229424501\approx54{,}8770575499,
e
\varphi_1\approx\frac{54{,}8770575499}{51}\approx1{,}0762069959.
Portanto o primeiro passo implícito (em t=0{,}05) dá \varphi_1\approx1{,}076207.

Passo 5

Observação crucial sobre o intervalo pedido: o enunciado pede a solução entre t=0 e t=0{,}04, porém o passo escolhido é \Delta t=0{,}05. Com esse passo os nós de tempo são t_0=0, t_1=0{,}05, t_2=0{,}10, … — não existe nenhum nó em t=0{,}04. Portanto, com exatamente \Delta t=0{,}05 não se obtêm aproximações em pontos dentro do intervalo aberto (0,0{,}04]. O único valor que a aplicação do método fornece dentro do intervalo [0,0{,}04] é o valor inicial \varphi(0)=0.
Se a intenção for obter uma aproximação em t=0{,}04 é preciso:
  • escolher um passo que divida o intervalo, por exemplo \Delta t=0{,}02 (então t_2=0{,}04), ou
  • usar um passo fracionário único \Delta t=0{,}04 e aplicar a fórmula com esse \Delta t, ou
  • aceitar que o primeiro passo de tamanho 0{,}05 fornece \varphi_1 em t=0{,}05 (valor que calculei no passo anterior).
    Para ser útil na prova, se te perguntarem “o que acontece se \Delta t for maior que o intervalo pedido?” a resposta é: você só tem a condição inicial dentro do intervalo; não há pontos internos calculados.

Resposta

Não é possível obter aproximações em pontos strictamente entre t=0 e t=0{,}04 usando \Delta t=0{,}05; o único valor no intervalo é \varphi(0)=0.

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