Considere o sistema:
. Use RK de
ordem para achar a solução em
passo de tempo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos\n
O enunciado dá o sistema
O enunciado dá o sistema
com as condições iniciais
e pede para usar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) para achar a aproximação de
e
em
usando passo de tempo
.\n
Portanto, queremos calcular numericamente e
a partir dos dados acima usando um único passo de RK4 (já que
leva de
a
).
Portanto, queremos calcular numericamente
Passo 2
O que é o método RK4 e a fórmula que vamos usar (explicação didática)\n
RK4 é um método explícito para integrar numericamente equações diferenciais ordinárias. Para um sistema com passo
e estado atual
em
, definimos quatro incrementos:
RK4 é um método explícito para integrar numericamente equações diferenciais ordinárias. Para um sistema
A aproximação em
é
Interpretação prática:
é a inclinação no início do passo;
e
são inclinações no ponto médio (usando previsões);
é a inclinação no final do passo. A média ponderada dá alta precisão (ordem 4).]
Passo 3
Preparação para aplicar RK4 ao nosso sistema e cálculo de
\n
Aqui ,
e
. A função
tem componentes
Aqui
No ponto inicial
,
temos
Logo
Passo 4
Cálculo de
(ponto médio usando
) com contas detalhadas\n
Primeiro calculamos . Como
,
Primeiro calculamos
Agora avaliamoas
nesse ponto:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
(outro ponto médio usando
) com contas detalhadas\n
Calcule com
:
Calcule
Agora
:
Assim
Passo 6
Cálculo de
(no fim do passo usando
) com contas\n
Calcule com
:
Calcule
Agora
:
Portanto
Passo 7
Combinação final das parcelas de RK4 e cálculo de
e
\n
A fórmula de atualização é
A fórmula de atualização é
Primeiro somamos as componentes ponderadas.
Componente
:
O incremento é
Logo
Logo
Componente
:
O incremento é
Logo
Logo
Resumo: após um passo de RK4 com
obtemos as aproximações acima. Bom trabalho — fizemos todas as contas passo a passo!