Considere o sistema:
\frac{d \varphi_{1}}{d t}=-0,5 \varphi_{1}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t}=4-0,3 \varphi_{2}-0,1 \varphi_{1},
\operatorname{com} \varphi_{1}(0)=4, \varphi_{2}(0)=6. Use RK de 4^{\mathrm{a}} ordem para achar a solução em t=0,5 \mathrm{com} passo de tempo \Delta t=0,5.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos\n
O enunciado dá o sistema
\frac{d\varphi_{1}}{dt}=-0,5\,\varphi_{1},\qquad \frac{d\varphi_{2}}{dt}=4-0,3\,\varphi_{2}-0,1\,\varphi_{1}
com as condições iniciais
\varphi_{1}(0)=4,\qquad \varphi_{2}(0)=6,
e pede para usar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) para achar a aproximação de \varphi_{1} e \varphi_{2} em t=0,5 usando passo de tempo \Delta t=0,5.\n
Portanto, queremos calcular numericamente \varphi_{1}(0,5) e \varphi_{2}(0,5) a partir dos dados acima usando um único passo de RK4 (já que \Delta t=0,5 leva de t=0 a t=0,5).

Passo 2

O que é o método RK4 e a fórmula que vamos usar (explicação didática)\n
RK4 é um método explícito para integrar numericamente equações diferenciais ordinárias. Para um sistema \frac{d\mathbf{y}}{dt}=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}) com passo h e estado atual \mathbf{y}_n em t_n, definimos quatro incrementos:
\begin{aligned} \mathbf{k}_1 &= \mathbf{f}(t_n,\mathbf{y}_n),\\[4pt] \mathbf{k}_2 &= \mathbf{f}\!\left(t_n+\frac{h}{2},\,\mathbf{y}_n+\frac{h}{2}\mathbf{k}_1\right),\\[4pt] \mathbf{k}_3 &= \mathbf{f}\!\left(t_n+\frac{h}{2},\,\mathbf{y}_n+\frac{h}{2}\mathbf{k}_2\right),\\[4pt] \mathbf{k}_4 &= \mathbf{f}\!\left(t_n+h,\,\mathbf{y}_n+h\mathbf{k}_3\right). \end{aligned}
A aproximação em t_{n+1}=t_n+h é
\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\frac{h}{6}\bigl(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4\bigr).
Interpretação prática: \mathbf{k}_1 é a inclinação no início do passo; \mathbf{k}_2 e \mathbf{k}_3 são inclinações no ponto médio (usando previsões); \mathbf{k}_4 é a inclinação no final do passo. A média ponderada dá alta precisão (ordem 4).]

Passo 3

Preparação para aplicar RK4 ao nosso sistema e cálculo de \mathbf{k}_1\n
Aqui \mathbf{y}=(\varphi_{1},\varphi_{2})^{T}, h=\Delta t=0,5 e t_0=0. A função \mathbf{f}(t,\mathbf{y}) tem componentes
f_1(\varphi_{1},\varphi_{2})=-0,5\,\varphi_{1},\qquad f_2(\varphi_{1},\varphi_{2})=4-0,3\,\varphi_{2}-0,1\,\varphi_{1}.
No ponto inicial \varphi_{1}(0)=4, \varphi_{2}(0)=6 temos
\begin{aligned} k_{1,1}&=f_1(4,6)=-0,5\cdot 4=-2,\\[4pt] k_{1,2}&=f_2(4,6)=4-0,3\cdot 6-0,1\cdot 4=4-1,8-0,4=1,8. \end{aligned}
Logo
\mathbf{k}_1 = \bigl(-2,\;1,8\bigr)^{T}.]

Passo 4

Cálculo de \mathbf{k}_2 (ponto médio usando \mathbf{k}_1) com contas detalhadas\n
Primeiro calculamos \mathbf{y}_\text{mid}=\mathbf{y}_0+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_1. Como \tfrac{h}{2}=0,25,
\begin{aligned} \varphi_{1,\text{mid}} &= 4+0,25\cdot(-2)=4-0,5=3,5,\\[4pt] \varphi_{2,\text{mid}} &= 6+0,25\cdot 1,8=6+0,45=6,45. \end{aligned}
Agora avaliamoas \mathbf{f} nesse ponto:
\begin{aligned} k_{2,1}&=f_1(3,5,6,45)=-0,5\cdot 3,5=-1,75,\\[4pt] k_{2,2}&=f_2(3,5,6,45)=4-0,3\cdot 6,45-0,1\cdot 3,5\\\ &=4-1,935-0,35=1,715. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{k}_2 = \bigl(-1,75,\;1,715\bigr)^{T}.]

Passo 5

Cálculo de \mathbf{k}_3 (outro ponto médio usando \mathbf{k}_2) com contas detalhadas\n
Calcule \mathbf{y}_{\text{mid2}}=\mathbf{y}_0+\tfrac{h}{2}\mathbf{k}_2 com \tfrac{h}{2}=0,25:
\begin{aligned} \varphi_{1,\text{mid2}} &= 4+0,25\cdot(-1,75)=4-0,4375=3,5625,\\[4pt] \varphi_{2,\text{mid2}} &= 6+0,25\cdot 1,715=6+0,42875=6,42875. \end{aligned}
Agora \mathbf{k}_3=\mathbf{f}(t_0+\tfrac{h}{2},\mathbf{y}_{\text{mid2}}):
\begin{aligned} k_{3,1}&=-0,5\cdot 3,5625=-1,78125,\\[4pt] k_{3,2}&=4-0,3\cdot 6,42875-0,1\cdot 3,5625\\\ &=4-1,928625-0,35625=1,715125. \end{aligned}
Assim
\mathbf{k}_3 = \bigl(-1,78125,\;1,715125\bigr)^{T}.]

Passo 6

Cálculo de \mathbf{k}_4 (no fim do passo usando \mathbf{k}_3) com contas\n
Calcule \mathbf{y}_{\text{end}}=\mathbf{y}_0+h\mathbf{k}_3 com h=0,5:
\begin{aligned} \varphi_{1,\text{end}} &= 4+0,5\cdot(-1,78125)=4-0,890625=3,109375,\\[4pt] \varphi_{2,\text{end}} &= 6+0,5\cdot 1,715125=6+0,8575625=6,8575625. \end{aligned}
Agora \mathbf{k}_4=\mathbf{f}(t_0+h,\mathbf{y}_{\text{end}}):
\begin{aligned} k_{4,1}&=-0,5\cdot 3,109375=-1,5546875,\\[4pt] k_{4,2}&=4-0,3\cdot 6,8575625-0,1\cdot 3,109375\\\ &=4-2,05726875-0,3109375=1,63179375. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{k}_4 = \bigl(-1,5546875,\;1,63179375\bigr)^{T}.]

Passo 7

Combinação final das parcelas de RK4 e cálculo de \varphi_{1}(0,5) e \varphi_{2}(0,5)\n
A fórmula de atualização é
\mathbf{y}_{1}=\mathbf{y}_0+\frac{h}{6}\bigl(\mathbf{k}_1+2\mathbf{k}_2+2\mathbf{k}_3+\mathbf{k}_4\bigr).
Primeiro somamos as componentes ponderadas.
Componente \varphi_{1}:
\begin{aligned} S_1&=k_{1,1}+2k_{2,1}+2k_{3,1}+k_{4,1}\\\ &=-2+2(-1,75)+2(-1,78125)+(-1,5546875)\\\ &=-2-3,5-3,5625-1,5546875=-10,6171875. \end{aligned}
O incremento é \dfrac{h}{6}S_1=\dfrac{0,5}{6}\cdot(-10,6171875)=\dfrac{1}{12}\cdot(-10,6171875)=-0,884765625.
Logo
\varphi_{1}(0,5)=4-0,884765625=3,115234375.
Componente \varphi_{2}:
\begin{aligned} S_2&=k_{1,2}+2k_{2,2}+2k_{3,2}+k_{4,2}\\\ &=1,8+2(1,715)+2(1,715125)+1,63179375\\\ &=1,8+3,43+3,43025+1,63179375=10,29204375. \end{aligned}
O incremento é \dfrac{h}{6}S_2=\dfrac{1}{12}\cdot 10,29204375=0,8576703125.
Logo
\varphi_{2}(0,5)=6+0,8576703125=6,8576703125.
Resumo: após um passo de RK4 com h=0,5 obtemos as aproximações acima. Bom trabalho — fizemos todas as contas passo a passo!

Resposta

\varphi_{1}(0,5)=3,115234375 \n
\varphi_{2}(0,5)=6,8576703125

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