Seja f(x, y)=e^{-x^{2}+\frac{3 y}{2}}
Calcule f_{x}, f_{y}, f_{x x}, f_{y y}, f_{x y}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Para isso vamos usar a regra da cadeia:
seja g(x,y)=-x^{2}+\tfrac{3y}{2}, então f(x,y)=e^{g(x,y)} e
\frac{\partial f}{\partial u} =e^{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial u}
para u=x,y.

Passo 2

Cálculo de f_x. Primeiro achamos
g_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-x^{2}+\tfrac{3y}{2}\Bigr)=-2x.
Aplicando a regra da cadeia:
f_x=e^{g(x,y)}\cdot g_x =-2x\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

Passo 3

Cálculo de f_y. Primeiro achamos
g_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-x^{2}+\tfrac{3y}{2}\Bigr)=\tfrac{3}{2}.
Aplicando a regra da cadeia:
f_y=e^{g(x,y)}\cdot g_y =\tfrac{3}{2}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

Passo 4

Cálculo de f_{xx}. Derivamos f_x=-2x\,e^{g(x,y)} em relação a x:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\,e^{g(x,y)}\bigr) =-2\,e^{g(x,y)}-2x\bigl(-2x\,e^{g(x,y)}\bigr) =(4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

Passo 5

Cálculo de f_{yy}. Derivamos f_y=\tfrac{3}{2}\,e^{g(x,y)} em relação a y:
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{3}{2}\,e^{g(x,y)}\Bigr) =\tfrac{3}{2}\,e^{g(x,y)}\cdot g_y =\tfrac{3}{2}\,\cdot\tfrac{3}{2}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}} =\tfrac{9}{4}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

Passo 6

Cálculo de f_{xy}. Podemos derivar f_x em relação a y:
f_x=-2x\,e^{g(x,y)} \quad\Longrightarrow\quad f_{xy} =-2x\,e^{g(x,y)}\cdot g_y =-2x\,\cdot\tfrac{3}{2}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}} =-3x\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

Resposta

f_x=-2x\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}, \quad f_y=\tfrac{3}{2}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}},
f_{xx}=(4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}, \quad f_{yy}=\tfrac{9}{4}\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}, \quad f_{xy}=-3x\,e^{-x^{2}+\frac{3y}{2}}.

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