Q1. (1,0) O que é a transformada de Laplace? Explique por que ela facilita a resolução de equações diferenciais.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é a transformada de Laplace e por que ela torna mais fácil resolver equações diferenciais. Vamos precisar da definição integral da transformada, das propriedades que ligam derivadas a operações algébricas em s, e de como isso reduz uma EDO a uma equação algébrica.

Passo 2

A transformada de Laplace é um operador que leva uma função de tempo f(t), definida para t\ge0, a uma função de complexa F(s). Formalmente,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt.
O parâmetro s atua como uma variável complexa que “sintetiza” o comportamento de f(t) em diferentes escalas de decaimento exponencial.

Passo 3

A grande sacada está nas propriedades de derivada. Se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=s\,F(s)-f(0), \quad \mathcal{L}\{f''(t)\}(s)=s^{2}F(s)-s\,f(0)-f'(0),
e assim por diante. Ou seja, a derivada no domínio do tempo vira multiplicação por s (menos termos iniciais) no domínio de s.

Passo 4

Para resolver uma EDO como
a\,f''(t)+b\,f'(t)+c\,f(t)=g(t),
aplicamos \mathcal{L} em ambos os lados. Substituímos \mathcal{L}\{f''\}, \mathcal{L}\{f'\} e \mathcal{L}\{f\} pelas regras acima, obtendo uma equação algébrica em F(s). Resolvemos para F(s) algebricamente e, por fim, aplicamos a transformada inversa para voltar a f(t). Isso evita integrar diretamente termos com derivadas e reduz tudo a manipulações algébricas.

Resposta

A transformada de Laplace é o operador
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt,
que converte derivadas em fatores algébricos em s, transformando uma equação diferencial em uma equação algébrica simples de resolver. Posteriormente, aplica-se a transformada inversa para recuperar a solução f(t).

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