Q1.
O que é a transformada de Laplace? Explique por que ela facilita a resolução de equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é a transformada de Laplace e por que ela torna mais fácil resolver equações diferenciais. Vamos precisar da definição integral da transformada, das propriedades que ligam derivadas a operações algébricas em
, e de como isso reduz uma EDO a uma equação algébrica.
Passo 2
A transformada de Laplace é um operador que leva uma função de tempo
, definida para
, a uma função de complexa
. Formalmente,
O parâmetro
atua como uma variável complexa que “sintetiza” o comportamento de
em diferentes escalas de decaimento exponencial.
Passo 3
A grande sacada está nas propriedades de derivada. Se
, então
e assim por diante. Ou seja, a derivada no domínio do tempo vira multiplicação por
(menos termos iniciais) no domínio de
.
Passo 4
Para resolver uma EDO como
aplicamos
em ambos os lados. Substituímos
,
e
pelas regras acima, obtendo uma equação algébrica em
. Resolvemos para
algebricamente e, por fim, aplicamos a transformada inversa para voltar a
. Isso evita integrar diretamente termos com derivadas e reduz tudo a manipulações algébricas.
Resposta
A transformada de Laplace é o operador
que converte derivadas em fatores algébricos em
, transformando uma equação diferencial em uma equação algébrica simples de resolver. Posteriormente, aplica-se a transformada inversa para recuperar a solução
.