Determine e classifique os pontos críticos de cada função.
(ix-sorteio) f(x, y)=2 x^{3}+y^{3}-3 x^{2}-3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função de duas variáveis
f(x,y)=2x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e uso do critério das segundas derivadas (Hessiano) para classificá-los.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras e igualá-las a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x^{2}-6x=6x(x-1),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}-3=3(y^{2}-1).
O sistema \nabla f=0 é
6x(x-1)=0, \quad 3(y^{2}-1)=0.

Passo 3

Resolvendo o sistema obtemos as coordenadas dos pontos críticos:
6x(x-1)=0\implies x=0\text{ ou }x=1,
3(y^{2}-1)=0\implies y^{2}=1\implies y=\pm1.
Logo os pontos críticos são (0,1), (0,-1), (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Para classificar, formamos o Hessiano H. As segundas derivadas são
f_{xx}(x,y)=12x-6,\quad f_{xy}(x,y)=0,\quad f_{yy}(x,y)=6y.
Assim
H(x,y)= \begin{pmatrix} 12x-6 & 0\\[6pt] 0 & 6y \end{pmatrix}.
O determinante é
D(x,y) = f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y) = (12x-6)\,(6y).]

Passo 5

Avaliamo-lo em cada ponto:
1. Em (0,1):
\;f_{xx}=-6, \;f_{yy}=6, \;D=-36<0.
Como D<0, é ponto de sela.
2. Em (0,-1):
\;f_{xx}=-6, \;f_{yy}=-6, \;D=36>0 e f_{xx}<0.
Logo é máximo local.
3. Em (1,1):
\;f_{xx}=6, \;f_{yy}=6, \;D=36>0 e f_{xx}>0.
Logo é mínimo local.
4. Em (1,-1):
\;f_{xx}=6, \;f_{yy}=-6, \;D=-36<0.
Como D<0, é ponto de sela.

Resposta

( 0,1): ponto de sela.
( 0,- 1): máximo local.
( 1,1): mínimo local.
( 1,- 1): ponto de sela.

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