1. Considere o problema
ut t & =c^2 ux x, (x, t) in R^2, u(x, 0) & =sen(x) x in R, ut(x, 0) & =1, x in R,
onde c>0 é uma constante. Use a solução geral da equação da onda para obter uma solução em C^2(R^2).

Passo 1

O enunciado pede a solução em C^2(R^2) da equação da onda
ut t = c^2 ux x, (x,t)inR^2,
com condições iniciais
u(x,0)=sin(x), ut(x,0)=1
O conteúdo principal é a fórmula de d’Alembert para a onda em toda a reta.

Passo 2

A solução geral de d’Alembert para
ut t=c^2ux x, xinR,;t>=0,
com
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x),
é
u(x,t)=tfrac12l[f(x-ct)+f(x+ct)r] +12cintegralx-ct^x+ctg(s),ds

Passo 3

Aqui temos
f(x)=sin(x), g(x)=1
Substituindo na fórmula:
u(x,t) =tfrac12l[sin(x-ct)+sin(x+ct)r] +12cintegralx-ct^x+ct1,ds

Passo 4

Calculamos a integral:
integralx-ct^x+ct1,ds=(x+ct)-(x-ct)=2ct
Logo
u(x,t) =tfrac12l[sin(x-ct)+sin(x+ct)r] +2ct2c =tfrac12l[sin(x-ct)+sin(x+ct)r]+t

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica
sin(x+ct)+sin(x-ct)=2sin(x)cos(ct),
vem
u(x,t)=sin(x)cos(ct)+t

Resposta

u(x,t)=sin(x)cos(ct)+t

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