Use o Teorema de Gauss para encontrar o volume da região sólida limitada pelos parabolóides z=9-x^2-y^2 e z=3 x^2+3 y^2-16.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sólida V limitada pelos paraboloides
z = 9 - x^2 - y^2
e
z = 3x^2 + 3y^2 - 16
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que diz
integral triplaV nabla!cdot F ,dV ;=;integral duplapartial V Fcdot n,dS
Se escolhermos um campo vetorial F com nabla!cdot F = 1, então o lado esquerdo é exatamente o volume de V.

Passo 2

Escolhemos o campo
F(x,y,z) = (0,,0,,z)
De fato,
nabla!cdot F = partialpartial x0 + partialpartial y0 + partialpartial zz = 1,
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integral triplaV1,dV = integral duplapartial VFcdot n,dS = Volume(V)

Passo 3

A fronteira partial V tem duas superfícies:
  1. S1colon z = 9 - x^2 - y^2 (superfície superior), com normal externa dada por
n,dS = l(-tfracpartialpartial x(9 - x^2-y^2),,-tfracpartialpartial y(9 - x^2-y^2),,1r),dA=(2x,2y,1),dA
Então
integral duplaS1Fcdot n,dS = integral duplaD(0,0,z)cdot(2x,2y,1),dA = integral duplaDz,dA = integral duplaD(9 - x^2-y^2),dA
  1. S2colon z = 3x^2+3y^2-16 (superfície inferior), cuja normal externa aponta para baixo:
n,dS = -l(-tfracpartialpartial x(3x^2+3y^2-16),,-tfracpartialpartial y(3x^2+3y^2-16),,1r),dA =(6x,6y,-1),dA
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integral duplaS2Fcdot n,dS = integral duplaD(0,0,z)cdot(6x,6y,-1),dA = integral duplaD-z,dA = integral duplaD-l(3x^2+3y^2-16r),dA

Passo 4

Somando as duas integrais de superfície obtemos
Volume(V) = integral duplaDl[(9 - x^2-y^2) - (3x^2+3y^2-16)r],dA = integral duplaDl(25 -4(x^2+y^2)r),dA,
onde D é o disco x^2+y^2<= tfrac254. Em coordenadas polares ,x=rcostheta,;y=rsintheta,;dA=r,dr,dtheta.

Passo 5

Calculemos
V = integral0^2pi!integral0^5/2l(25 -4r^2r),r,dr,dtheta
A integral em r é
integral0^5/2(25r -4r^3),dr = [252r^2 - r^4]0^5/2 = 62516
Multiplicando por integral0^2pidtheta = 2pi, vem
V = 62516,2pi = 625pi8

Resposta

V = 625pi8

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