Use o Teorema de Gauss para encontrar o volume da região sólida limitada pelos parabolóides
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região sólida
limitada pelos paraboloides
e
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), que diz
Se escolhermos um campo vetorial
com
, então o lado esquerdo é exatamente o volume de
.
Passo 2
Escolhemos o campo
De fato,
logo
Passo 3
A fronteira
tem duas superfícies:
-
(superfície superior), com normal externa dada por
Então
-
(superfície inferior), cuja normal externa aponta para baixo:
Logo
Passo 4
Somando as duas integrais de superfície obtemos
onde
é o disco
. Em coordenadas polares
.
Passo 5
Calculemos
A integral em
é
Multiplicando por
, vem