Use o Teorema de Gauss para avaliar
integral duplaS F cdot d S
onde F=z e^x^2 i+3 y j+(2-y z^7) k e S é a união das cinco faces superiores do cubo [0,1] times [0,1] times[0,1],isto é, a face z=0 não é parte de S. (Dica: S é não fechada, então para aplicar o Teorema de Gauss você terá que fechá-la).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F através da superfície S, que é o cubo [0,1]^3 sem a face de baixo ( z=0). Como o Teorema de Gauss vale só para superfícies fechadas, vamos fechar S incluindo a face de baixo orientada para fora do cubo. Chamaremos de S' a união de S com essa face adicional.

Passo 2

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo através de S' é dado por
integral duplaS' Fcdot d S=integral triplaVnablacdot F,dV,
onde V é o volume do cubo [0,1]^3. Primeiro calculamos a divergência de
F=(z e^x^2), i+3y, j+(2-yz^7), k
Temos
nablacdot F =partialpartial x(z e^x^2) +partialpartial y(3y) +partialpartial z(2-yz^7) =2xze^x^2+3-7yz^6

Passo 3

Agora avaliamos o integral triplo
integral triplaV(2xze^x^2+3-7yz^6),dV
Separamos em três integrais:
  1. I1=integral tripla 2xze^x^2,dV =integral0^1!integral0^1!integral0^12xze^x^2,dx,dy,dz
    Integramos em x e z separadamente:
    integral0^12x e^x^2dx=e^x^2|0^1=e-1, integral0^1z,dz=tfrac12, integral0^1dy=1
    Logo I1=(e-1)cdottfrac12.
  2. I2=integral tripla 3,dV=3cdotVol(V)=3cdot1=3
  3. I3=integral tripla -7yz^6,dV =-7integral0^1!integral0^1!integral0^1y z^6,dx,dy,dz
    Aqui integral0^1dx=1, integral0^1y,dy=tfrac12, integral0^1z^6,dz=tfrac17.
    Logo I3=-7cdot12cdot17=-tfrac12.
Somando,
integral triplaVnablacdot F,dV =e-12+3-12 =e+42
Este valor é o fluxo através de S'.

Passo 4

Agora computamos o fluxo através da face de baixo ( z=0) sozinha, com a normal apontando para fora do cubo, ou seja n=- k. Sobre z=0 temos
F|z=0=(0,,3y,,2),
então
Fcdot(- k)=-2
Integrando em x,yin[0,1],
integral duplaface z=0 Fcdot d S =integral0^1!integral0^1(-2),dx,dy=-2

Passo 5

Chamando de PhiS o fluxo que queremos, e de PhiS' o fluxo sobre S', temos
PhiS'=PhiS+Phiz=0 Longrightarrow PhiS=PhiS'-Phiz=0 =e+42-(-2) =e+82 =e2+4

Resposta

e2+4

Exercícios relacionados