Seja
definida por
, orientada para cima, e se
. Use o Teorema de Gauss para calcular
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
sobre a porção da superfície
orientada para cima, em que
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência): transformar o fluxo de uma superfície aberta num volume fechado.
Passo 2
Para aplicar Gauss construímos o volume
limitado por
por cima e pelo disco
por baixo. A superfície fechada
é a união de
(orientada para fora do volume, ou seja, para cima) e do disco
(orientado para fora do volume, ou seja, para baixo).
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Pelo Teorema de Gauss, o fluxo sobre toda a superfície fechada vale
Passo 5
Esse fluxo fechado se decompõe em fluxo sobre
mais fluxo sobre o disco
:
Passo 6
No disco
temos
e o vetor normal para fora do volume é
. Logo
então
Isso faz com que
Passo 7
Como o fluxo pelo disco é zero, do passo anterior, segue que