Seja S definida por z=e^1-x^2-y^2, z >= 1, orientada para cima, e se F=x i+y j+(2-2 z) k. Use o Teorema de Gauss para calcular
integral duplaS F cdot d S

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdot dS
sobre a porção da superfície
S:;z = e^1 - x^2 - y^2, z>=1,
orientada para cima, em que
F(x,y,z) = x,i + y,j + (2 - 2z),k
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência): transformar o fluxo de uma superfície aberta num volume fechado.

Passo 2

Para aplicar Gauss construímos o volume V limitado por S por cima e pelo disco
D:;z=1, x^2+y^2<=1
por baixo. A superfície fechada partial V é a união de S (orientada para fora do volume, ou seja, para cima) e do disco D (orientado para fora do volume, ou seja, para baixo).

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
div,F =partialpartial x(x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(2-2z) =1+1-2=0

Passo 4

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo sobre toda a superfície fechada vale
integral duplapartial VFcdot dS =integral triplaVdiv,F,dV = integral triplaV0,dV =0

Passo 5

Esse fluxo fechado se decompõe em fluxo sobre S mais fluxo sobre o disco D:
integral duplaSFcdot dS +integral duplaDFcdot dS =0 Longrightarrow integral duplaSFcdot dS =-integral duplaDFcdot dS

Passo 6

No disco D temos z=1 e o vetor normal para fora do volume é -k. Logo
Fl|z=1 = (x,y,2-2cdot1) = (x,y,0),
então
Fcdot(-k) = 0
Isso faz com que
integral duplaDFcdot dS = integral duplaD0,dA = 0

Passo 7

Como o fluxo pelo disco é zero, do passo anterior, segue que
integral duplaSFcdot dS =-0=0

Resposta

0

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