Considere o problema
ut=alpha^2 ux x & , 0<x<l, t>0 u(0, t)=0 & ux(l, t)+gamma u(l, t)=0 &
onde alpha, gamma e l são constantes. Se u(x, t)=X(x) T(t) é solução desse problema, encontre as equações diferenciais ordinárias e condições de contorno que as funções X e T satisfazem.

Passo 1

O enunciado pede para usar separação de variáveis na equação do calor
ut = alpha^2uxx, 0<x<l,;t>0
com condições de contorno mistas
u(0,t)=0, ux(l,t)+gamma,u(l,t)=0
Assumimos uma solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t) e vamos achar as EDOs que X e T satisfazem, bem como as condições de contorno para X.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x),T(t) na PDE,
X(x),T'(t) = alpha^2,X''(x),T(t)
Dividindo por alpha^2X(x)T(t) (assumindo Xneq0 e Tneq0), obtemos
T'(t)alpha^2T(t) ;=;X''(x)X(x) ;=;-,lambda,
onde lambda é a constante de separação (autovalor).

Passo 3

Isolamos as EDOs em t e em x:
Para T(t) temos
T'(t) + alpha^2,lambda,T(t)=0
Para X(x) fica
X''(x) + lambda,X(x)=0

Passo 4

As condições de contorno originais geram para X:
Em x=0:
u(0,t)=X(0),T(t)=0forall t ;Longrightarrow;X(0)=0
Em x=l:
ux(l,t)+gamma,u(l,t) =l(X'(l)+gamma,X(l)r),T(t)=0forall t ;Longrightarrow;X'(l)+gamma,X(l)=0

Resposta

As funções X e T satisfazem as EDOs e condições de contorno:
X''(x) + lambda,X(x)=0, X(0)=0, X'(l)+gamma,X(l)=0, T'(t) + alpha^2,lambda,T(t)=0

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