Seja alpha in(0,1) e considere a função definida por f(x)=cos alpha x, para x in[-pi, pi], e definida para todo R de maneira periódica com período 2 pi. Use a série de Fourier dessa função para mostrar que
cot (alpha pi)=1pi(1alpha-sumn=1^infty 2 alphan^2-alpha^2)

Passo 1

O enunciado pede para usar a série de Fourier de f(x)=cos(alpha x), com alphain(0,1), período 2pi, e mostrar que
cot(alphapi) =1pil(1alpha-sumn=1^infty2alphan^2-alpha^2r)
O conteúdo é expansão em série de Fourier de uma função par. Vamos precisar calcular os coeficientes
a0 e an e depois avaliar a série em x=pi.

Passo 2

Calcular o coeficiente geral
an =1piintegral-pi^picos(alpha x),cos(n x),dx =2piintegral0^picos(alpha x)cos(n x),dx
Usando cos(alpha x)cos(nx)=tfrac12l(cos((alpha-n)x)+cos((alpha+n)x)r) e integrando, obtemos
integral0^picos(alpha x)cos(nx),dx =(-1)^n+1,alphasin(alphapi)n^2-alpha^2
Logo
an =2picdot(-1)^n+1,alphasin(alphapi)n^2-alpha^2 =2alphasin(alphapi)pi,(-1)^n+1n^2-alpha^2

Passo 3

Calcular o termo constante:
a0 =1piintegral-pi^picos(alpha x),dx =2piintegral0^picos(alpha x),dx =2sin(alphapi)alphapi
Logo a média da série é a0/2=sin(alphapi)/(alphapi).

Passo 4

Escrever a série de Fourier (só termos pares porque f é par):
cos(alpha x) =a02+sumn=1^inftyancos(nx) =sin(alphapi)alphapi +sumn=1^infty2alphasin(alphapi)pi,(-1)^n+1n^2-alpha^2cos(nx)

Passo 5

Avaliar em x=pi. Sabendo que cos(alphapi)=cos(alphapi) e cos(npi)=(-1)^n, obtemos
cos(alphapi) =sin(alphapi)alphapi +sumn=1^infty2alphasin(alphapi)pi,(-1)^n+1n^2-alpha^2,(-1)^n =sin(alphapi)alphapi -2alphasin(alphapi)pisumn=1^infty1n^2-alpha^2
Isolando a soma:
sumn=1^infty1n^2-alpha^2 =12alpha^2-picot(alphapi)2alpha

Passo 6

Multiplicando por 2alpha e rearranjando, vem
picot(alphapi) =1alpha-2alphasumn=1^infty1n^2-alpha^2,
ou seja
cot(alphapi) =1pil(1alpha-sumn=1^infty2alphan^2-alpha^2r)

Resposta

cot(alphapi) =1pil(1alpha-sumn=1^infty2alphan^2-alpha^2r)

Exercícios relacionados