Seja
e considere a função definida por
, para
, e definida para todo
de maneira periódica com período
. Use a série de Fourier dessa função para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para usar a série de Fourier de
, com
, período
, e mostrar que
O conteúdo é expansão em série de Fourier de uma função par. Vamos precisar calcular os coeficientes
e
e depois avaliar a série em
.
Passo 2
Calcular o coeficiente geral
Usando
e integrando, obtemos
Logo
Passo 3
Calcular o termo constante:
Logo a média da série é
.
Passo 4
Escrever a série de Fourier (só termos pares porque
é par):
Passo 5
Avaliar em
. Sabendo que
e
, obtemos
Isolando a soma:
Passo 6
Multiplicando por
e rearranjando, vem
ou seja