Defina o operador de momento angular
, onde as componentes são dadas por
Mostre que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o operador de momento angular
com
Precisamos mostrar duas coisas:
-
. - As relações de comutadores
Passo 2
Mostramos que o produto vetorial
reproduz o conteúdo de cada componente.
Definindo e
, temos por definição de produto vetorial
Definindo
Multiplicando por
obtemos exatamente as définitions de
. Logo
Passo 3
Vamos calcular o comutador
. Defina
de modo que
e
. Então
Agora, ao atuar num função teste
, expanda
usando regra do produto e
. O resultado é
Chamando
vemos
. Logo
pois
.
Passo 4
Pelo caráter cíclico das definições de
e dos índices
, as outras duas relações seguem-se pela permutação cíclica: