Defina o operador de momento angular L=(Lx, Ly, Lz), onde as componentes são dadas por
Lx=-i(y partialpartial z-z partialpartial y), Ly=-i(z partialpartial x-x partialpartial z), Lz=-i(x partialpartial y-y partialpartial x)
Mostre que L=-i r times nabla. Mostre que Lx Ly-Ly Lx=i Lz, Lz Lx-Lx Lz=i Ly, Ly Lz-Lz Ly=i Lx.

Passo 1

O enunciado define o operador de momento angular
L=(Lx,Ly,Lz)
com
Lx=-il(ypartialpartial z-zpartialpartial yr), Ly=-il(zpartialpartial x-xpartialpartial zr), Lz=-il(xpartialpartial y-ypartialpartial xr)
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. L=-i,vec rtimesnabla.
  2. As relações de comutadores
[Lx,Ly]=i,Lz, [Lz,Lx]=i,Ly, [Ly,Lz]=i,Lx

Passo 2

Mostramos que o produto vetorial vec rtimesnabla reproduz o conteúdo de cada componente.
Definindo vec r=(x,y,z) e nabla=(partialx,partialy,partialz), temos por definição de produto vetorial
(vec rtimesnabla)x = y,partialz-z,partialy, (vec rtimesnabla)y = z,partialx-x,partialz, (vec rtimesnabla)z = x,partialy-y,partialx
Multiplicando por -i obtemos exatamente as définitions de Lx,Ly,Lz. Logo
L =-i,vec rtimesnabla

Passo 3

Vamos calcular o comutador [Lx,Ly]. Defina
A=y,partialz - z,partialy, B=z,partialx - x,partialz,
de modo que Lx=-iA e Ly=-iB. Então
[Lx,Ly] = LxLy - LyLx = (-iA)(-iB) - (-iB)(-iA) = -l(A,B - B,Ar) = -[A,B]
Agora, ao atuar num função teste f, expanda
[A,B]f = A(Bf)-B(Af)
usando regra do produto e [partiali,xj]=de<aij. O resultado é
[A,B]f = -l(x,partialy - y,partialxr)f
Chamando C = x,partialy - y,partialx vemos [A,B]=-C. Logo
[Lx,Ly] = -[A,B] = C = i,Lz,
pois Lz=-iC.

Passo 4

Pelo caráter cíclico das definições de Lx,Ly,Lz e dos índices (x,y,z), as outras duas relações seguem-se pela permutação cíclica:
[Lz,Lx]=i,Ly, [Ly,Lz]=i,Lx

Resposta

L=-i,vec rtimesnabla
[Lx,Ly]=i,Lz, [Lz,Lx]=i,Ly, [Ly,Lz]=i,Lx

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