Determine a solução do problema
l ux x=ut u(0, t)=u(1, t)=0 u(x, 0)=f(x)
onde
f(x)= x, & 0 <= x <= 1 / 2 1-x, & 1 / 2 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de calor
uxx = nut, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(1,t)=0
e condição inicial em forma de “tenda” triangular
u(x,0)=f(x)= x,&0<= x<=tfrac12, 1-x,&tfrac12<= x<=1
O método é separação de variáveis e expansão em senos (série de Fourier-seno).

Passo 2

Procuramos solução na forma de série
u(x,t)=sumn=1^inftyTn(t),sin(npi x)
Substituindo em uxx=ut dá para cada n a ODE
-n^2pi^2Tn(t)=Tn'(t),
cuja solução é
Tn(t)=An,e^-n^2pi^2t
Logo
u(x,t)=sumn=1^inftyAn,e^-n^2pi^2t,sin(npi x)

Passo 3

Para ajustar a condição inicial usamos
u(x,0)=sumn=1^inftyAn,sin(npi x)=f(x)
Os coeficientes An são dados por
An=2integral0^1f(x),sin(npi x),dx

Passo 4

Quebramos a integral em dois trechos e integramos por partes:
integral0^1f(x)sin(npi x),dx =integral0^1/2xsin(a x),dx+integral1/2^1(1-x)sin(a x),dx,
once a=npi. Fazendo as integrações por partes em cada trecho obtém-se
integral0^1f(x)sin(npi x),dx =2sinl(tfracnpi2r)-sin(npi)(npi)^2
Como sin(npi)=0, isso vira
integral0^1f(x)sin(npi x),dx =2sin!l(tfracnpi2r)(npi)^2
Logo
An =2cdot2sin!l(tfracnpi2r)(npi)^2 =4sin!l(tfracnpi2r)n^2pi^2

Passo 5

Observe que sin!l(tfracnpi2r)=0 para n par e vale (-1)^m quando n=2m+1. Assim
A2m+1 =4(-1)^m(2m+1)^2pi^2, A2m=0

Resposta

boxed u(x,t) =summ=0^infty 4(-1)^m(2m+1)^2pi^2 ,e^-(2m+1)^2pi^2t ;sinl((2m+1)pi xr)

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