Determine a solução do problema
onde
f(x)= x, & 0 <= x <= 1 / 2 1-x, & 1 / 2 <= x <= 1
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de calor
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial em forma de “tenda” triangular
O método é separação de variáveis e expansão em senos (série de Fourier-seno).
Passo 2
Procuramos solução na forma de série
Substituindo em
uxx=ut dá para cada
n a ODE
cuja solução é
Logo
Passo 3
Para ajustar a condição inicial usamos
Os coeficientes
An são dados por
Passo 4
Quebramos a integral em dois trechos e integramos por partes:
once
a=npi . Fazendo as integrações por partes em cada trecho obtém-se
Como
sin(npi)=0 , isso vira
Logo
Passo 5
Observe que
sin!l(tfracnpi2r)=0 para
n par e vale
(-1)^m quando
n=2m+1 . Assim