Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Seja f: R R a função dada por f(x)=ln (1+x^2). Sabendo que
f^prime(x)=2 x1+x^2, f^prime prime(x)=2-2 x^2(1+x^2)^2
faça o que se pede abaixo:
(a) Encontre os intervalos onde a função fé crescente e onde é decrescente.

Passo 1

O enunciado define a função f:RtoR por
f(x)=lnl(1+x^2r)
e fornece
f'(x)=2x1+x^2, f''(x)=2-2x^2(1+x^2)^2
A parte (a) pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f, o que fazemos analisando o sinal de f'(x).

Passo 2

Observamos que
f'(x)=2x1+x^2
Como 1+x^2>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 2x. Assim:
- Se x>0, então 2x>0 e f'(x)>0.
- Se x<0, então 2x<0 e f'(x)<0.
- Em x=0, f'(0)=0.

Passo 3

A partir do sinal de f'(x) concluímos:
- Para x<0, f'(x)<0 Rightarrow f é decrescente em (- infty,0).
- Para x>0, f'(x)>0 Rightarrow f é crescente em (0,infty).
O ponto x=0 é ponto crítico (derivada nula).

Resposta

- Função decrescente em (- infty,0).
- Função crescente em (0,infty).

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