Considere o problema: y^prime prime-5 y^prime+7 y=sin (t), y(0)=0, y^prime(0)=0.
Resolva o problema usando transformada de Laplace.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 5y' + 7y = sin(t)
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O método será aplicar a transformada de Laplace, denotando
Y(s) = Ly(t)

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Lsin(t)=1/(s^2+1), obtemos
s^2Y(s) - 0 - 0 ;-;5l(sY(s)-0r);+;7Y(s);=;1s^2+1
Ou seja,
(s^2 -5s +7),Y(s) ;=;1s^2+1 Longrightarrow Y(s);=;1(s^2+1),(s^2 -5s +7)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
1(s^2+1)(s^2-5s+7) =As+Bs^2+1+Cs+Ds^2-5s+7
Multiplicando e igualando coeficientes em
1=(As+B)(s^2-5s+7)+(Cs+D)(s^2+1)
vemos que
A+C=0,; -5A+B+D=0,; 7A-5B+C=0,; 7B+D=1
Daí C=-A, B=tfrac65A, D=tfrac195A e 7B+D=1 leva a A=5/61. Logo
A=561,; B=661,; C=-561,; D=1961

Passo 4

Reescrevemos o segundo denominador em forma completa de quadrado:
s^2-5s+7=(s-tfrac52)^2+l(tfracraiz32r)^2
Então
Y(s) =tfrac561s+tfrac661s^2+1 +-tfrac561s+tfrac1961(s-tfrac52)^2+(tfracraiz32)^2
No segundo termo escrevemos o numerador como combinação de (s-tfrac52) e constante para usar tabelas.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
L^-1tfracss^2+1=cos t,
L^-1tfrac1s^2+1=sin t,
L^-1tfracs-alpha(s-alpha)^2+beta^2=e^alpha tcos(beta t) e
L^-1tfracbeta(s-alpha)^2+beta^2=e^alpha tsin(beta t), encontramos
y(t) =561cos t + 661sin t -561e^tfrac52tcos!l(raiz32tr) +1361raiz3,e^tfrac52tsin!l(raiz32tr)

Resposta

boxed y(t) =561cos t + 661sin t -561,e^tfrac52tcos!l(tfracraiz32tr) +1361raiz3,e^tfrac52tsin!l(tfracraiz32tr)

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