Considere o problema: y^prime prime-5 y^prime+7 y=sin (t), y(0)=0, y^prime(0)=0.
Resolva o problema sem usar transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-5y'+7y=sin(t), y(0)=0, y'(0)=0
sem usar transformada de Laplace. Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular, somar à solução geral da homogênea e impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea
y''-5y'+7y=0
A equação característica é
r^2-5r+7=0,
cuja solução é
r=5pmraiz25-282 =5pm iraiz32
Logo a parte homogênea é
yh(t) = e^52tl(C1cosl(tfracraiz32tr) + C2sinl(tfracraiz32tr)r)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular
Calculamos
e substituímos em :
Agrupando e ,
Isto gera o sistema
Da segunda equação vem (B=\tfrac{5}{6}A]. Substituindo na primeira:

Portanto

Passo 4

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) =e^52tl(C1cosl(tfracraiz32tr) + C2sinl(tfracraiz32tr)r) +661sin t + 561cos t
Impondo y(0)=0
y(0)=C1 + 561=0 Rightarrow C1=-561
Para y'(t) usamos
yh'(t) =e^52tl((tfrac52C1+tfracraiz32C2)cos! tfracraiz32t +(tfrac52C2-tfracraiz32C1)sin!tfracraiz32tr),
e
yp'(t)=661cos t - 561sin t
No instante t=0 temos
y'(0) =(tfrac52C1 + tfracraiz32C2)+661=0
Substituindo C1=-tfrac561:
tfrac52l(-tfrac561r)+tfracraiz32C2+tfrac661=0 ;Rightarrow; -tfrac25122+tfrac661+tfracraiz32C2=0 ;Rightarrow; -tfrac13122+tfracraiz32C2=0
Rightarrow; C2=13122cdot2raiz3 =1361raiz3

Resposta

boxed y(t) =e^tfrac52tl( -tfrac561cosl(tfracraiz32tr) +tfrac1361raiz3sinl(tfracraiz32tr) r) +661sin t + 561cos t

Exercícios relacionados