Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace a EDOs lineares com coeficientes constantes e uso de tabelas para inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados da equação e usamos
,
, lembrando que
e
.
Fica então
Fica então
Passo 3
Fatorando
no lado esquerdo, obtemos
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais
Igualando numeradores:
Das igualdades de coeficientes vem
solução
,
,
. Logo
Passo 5
Para inverter usamos o completamento de quadrado em
. Assim
Passo 6
Agora aplicamos as fórmulas inversas:
,
,
.
Com ,
e ajustando os fatores, resulta
Com