Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime+3 y^prime+3 y=e^t, y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 3y' + 3y = e^t, y(0)=0,;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace a EDOs lineares com coeficientes constantes e uso de tabelas para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados da equação e usamos y(0)=0, y'(0)=0, lembrando que
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
Fica então
s^2Y(s)+3sY(s)+3Y(s)=1s-1

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo, obtemos
Y(s)l(s^2+3s+3r)=1s-1 Longrightarrow Y(s)=1(s-1),(s^2+3s+3)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
1(s-1)(s^2+3s+3) =As-1+Bs+Cs^2+3s+3
Igualando numeradores:
1=A(s^2+3s+3)+(Bs+C)(s-1) =(A+B)s^2+(3A-B+C)s+(3A-C)
Das igualdades de coeficientes vem
A+B=0, 3A-B+C=0, 3A-C=1
solução A=tfrac17, B=-tfrac17, C=-tfrac47. Logo
Y(s)=1/7s-1-(s+4)/7s^2+3s+3

Passo 5

Para inverter usamos o completamento de quadrado em s^2+3s+3=(s+tfrac32)^2+tfrac34. Assim
-s+471s^2+3s+3 =-17s+tfrac32(s+tfrac32)^2+(tfracraiz32)^2 -5/14(s+tfrac32)^2+(tfracraiz32)^2

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas inversas:
L^-1tfrac1s-1=e^t,
L^-1tfracs+a(s+a)^2+omega^2=e^-a tcos(omega t),
L^-1tfracomega(s+a)^2+omega^2=e^-a tsin(omega t).
Com a=tfrac32, omega=tfracraiz32 e ajustando os fatores, resulta
y(t) =17e^t -17,e^-32tcos!l(tfracraiz32tr) -57raiz3,e^-32tsin!l(tfracraiz32tr)

Resposta

y(t) =17e^t -17e^-32tcos!l(raiz32tr) -57raiz3,e^-32tsin!l(raiz32tr)

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