Seja
f(t)=cc sin (t), & 0 <= t<pi t cos (t), & pi <= t<2 pi e^-4 t, & 2 pi <= t
Expresse f(t) em termos da função degrau.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a função f(t) usando a função degrau, também conhecida como função passo ou função de Heaviside. A matéria relacionada aqui é sobre funções por partes e função degrau. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função degrau funciona para “ligar” ou “desligar” determinadas partes da função em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau u(t - a) . Ela é igual a 0 quando t < a e igual a 1 quando t >= a . Isso serve para “ativar” certas partes da função a partir de um ponto a .

Passo 3

Nossa função f(t) é definida em três intervalos:
  • De 0 até pi : sin(t)
  • De pi até 2pi : t cos(t)
  • A partir de 2pi : e^-4t
Vamos reescrever cada parte usando a função degrau.

Passo 4

Para a primeira parte, de 0 a pi , a função é sin(t) . Como isso começa em t = 0 , podemos multiplicar por u(t) , que é 1 a partir de 0.
Então, a primeira parte fica:
sin(t) cdot u(t)

Passo 5

A segunda parte, de pi a 2pi , é t cos(t) . Para “ligar” essa parte em t = pi , usamos u(t - pi) . Mas precisamos subtrair a primeira parte para evitar sobreposição.
Então, a segunda parte fica:
t cos(t) cdot [u(t - pi) - u(t - 2pi)]

Passo 6

A terceira parte, a partir de 2pi , é e^-4t . Para ligar essa parte em t = 2pi , usamos u(t - 2pi) . Novamente, subtraímos a segunda parte para evitar sobreposição.
Então, a terceira parte fica:
e^-4t cdot u(t - 2pi)

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes:
f(t) = sin(t) cdot u(t) + t cos(t) cdot [u(t - pi) - u(t - 2pi)] + e^-4t cdot u(t - 2pi)

Resposta

A função f(t) expressa em termos da função degrau é:
f(t) = sin(t) cdot u(t) + t cos(t) cdot [u(t - pi) - u(t - 2pi)] + e^-4t cdot u(t - 2pi)

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