Determine o valor médio da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o valor médio da função $ f(x) = \sin^{2}(x) \cos^{3}(x) $ no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, mais especificamente, a fórmula para o valor médio de uma função em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função $ f(x) $ no intervalo
. A fórmula é:
Aqui, $ a = -\frac{\pi}{2} $ e $ b = \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Aplicando os valores do intervalo na fórmula, temos:
Simplificando o denominador:
Então, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos focar em resolver a integral:
Para integrar essa expressão, podemos usar uma substituição. Vamos identificar uma parte da função que, ao ser derivada, aparece na expressão. Aqui, observamos que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, o que nos dá uma pista para a substituição.
Passo 5
Vamos fazer a seguinte substituição:
Mas na nossa integral temos $ \cos^{3}(x) $, então vamos reescrever a integral para facilitar:
Sabemos que $ \cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x) $, então substituindo:
Aplicando a substituição $ u = \sin(x) $:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Voltando para a variável original $ x $:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de
a
.
Passo 8
Calculando nos limites:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, então substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos o valor da integral, vamos voltar à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função $ f(x) = \sin^{2}(x) \cos^{3}(x) $ no intervalo
é: