Determine o valor médio da função f(x)=sen^2(x) cos ^3(x) no intervalo [-pi2, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o valor médio da função $ f(x) = \sin^{2}(x) \cos^{3}(x) $ no intervalo f(x) = sin^2(x) cos^3(x) . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, mais especificamente, a fórmula para o valor médio de uma função em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função $ f(x) $ no intervalo f(x) . A fórmula é:
[a, b]é
Aqui, $ a = -\frac{\pi}{2} $ e $ b = \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Aplicando os valores do intervalo na fórmula, temos:
fmédia = 1pi2 - (-pi2) integral-pi2^pi2 sin^2(x) cos^3(x) , dx é
Simplificando o denominador:
pi2 - (-pi2) = pi2 + pi2 = pi
Então, a fórmula fica:
fmédia = 1pi integral-pi2^pi2 sin^2(x) cos^3(x) , dx é

Passo 4

Agora, vamos focar em resolver a integral:
integral-pi2^pi2 sin^2(x) cos^3(x) , dx
Para integrar essa expressão, podemos usar uma substituição. Vamos identificar uma parte da função que, ao ser derivada, aparece na expressão. Aqui, observamos que a derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, o que nos dá uma pista para a substituição.

Passo 5

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Mas na nossa integral temos $ \cos^{3}(x) $, então vamos reescrever a integral para facilitar:
cos^3(x)
Sabemos que $ \cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x) $, então substituindo:
sin^2(x) cos^3(x) , dx = sin^2(x) cos^2(x) cdot cos(x) , dx
Aplicando a substituição $ u = \sin(x) $:
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral u^2 (1 - u^2) , du = integral u^2 , du - integral u^4 , du
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^2 , du = u^33 + C
integral u^4 , du = u^55 + C
Então, a integral completa é:
u^33 - u^55 + C

Passo 7

Voltando para a variável original $ x $:
x
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de sin^3(x)3 - sin^5(x)5 + C a -pi2.

Passo 8

Calculando nos limites:
[ sin^3(pi2)3 - sin^5(pi2)5 ] - [ sin^3(-pi2)3 - sin^5(-pi2)5 ]
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, então substituindo:
sin(pi2) = 1
Simplificando:
sin(-pi2) = -1

Passo 9

Agora que temos o valor da integral, vamos voltar à fórmula do valor médio:
fmédia = 1pi cdot 415 = 415pi é

Resposta

O valor médio da função $ f(x) = \sin^{2}(x) \cos^{3}(x) $ no intervalo f(x) = sin^2(x) cos^3(x) é:
[-pi2, pi2]é

Exercícios relacionados