Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados:
Usando as fórmulas
o que simplifica para
Passo 3
Isolamos
:
Para inverter, precisamos decompor em frações parciais.
Passo 4
Fazemos a decomposição
Multiplicando e igualando coeficientes, achamos
Logo
Para inverter o segundo termo escrevemos
e decompondo
onde
Passo 5
Invertemos termo a termo usando
$$\mathcal L{-1}{\tfrac{1}{s-a}}=e{at}.
Substituindo
obtemos a expressão final abaixo.