Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime-3 y^prime+y=3 e^2 t, y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''(t)-3y'(t)+y(t)=3e^2t,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo envolve transformada de Laplace de derivadas, frações parciais e invertê-la usando tabelas de transformadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly''-3 Ly'+ Ly=3 Le^2t
Usando as fórmulas Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0) e como y(0)=y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)-3sY(s)+Y(s)=3s-2
o que simplifica para
(s^2-3s+1)Y(s)=3s-2

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=3(s-2)(s^2-3s+1)
Para inverter, precisamos decompor em frações parciais.

Passo 4

Fazemos a decomposição
3(s-2)(s^2-3s+1)=As-2+Bs+Cs^2-3s+1
Multiplicando e igualando coeficientes, achamos
A=-3, B=3, C=-3
Logo
Y(s)=-3s-2+3s-3s^2-3s+1
Para inverter o segundo termo escrevemos
s^2-3s+1=(s-r1)(s-r2), r1,2=3pmraiz52,
e decompondo
3s-3s^2-3s+1=3l(Ds-r1+Es-r2r),
onde
D=1+raiz52raiz5, E=raiz5-12raiz5

Passo 5

Invertemos termo a termo usando
$$\mathcal L{-1}{\tfrac{1}{s-a}}=e{at}.
L^-1tfrac1s-a=e^at y(t)=-3e{2t}+3D,e{r_1t}+3E,e^{r_2t}.$$
Substituindo y(t)=-3e^2t+3D,e^r1t+3E,e^r2t obtemos a expressão final abaixo.

Resposta

y(t)=-3e^2t+3(1+raiz5)2raiz5e^tfrac3+raiz52t+3(raiz5-1)2raiz5e^tfrac3-raiz52t

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