Considere o problema
l ut=k^2 ux x, 0<x<L, t>0 ; u(0, t)=0, ux(L, t)+gamma u(L, t)=0, t>0, u(x, 0)=f(x) 0 <= x <= L
Suponha u(x, t)=X(x) T(t) e mostre que T^prime+lambda k^2 T=0 e
X^prime prime+lambda X=0, X(0)=0, X^prime(L)+gamma X(L)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do calor
ut=k^2uxx, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0, ux(L,t)+gamma,u(L,t)=0
e condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar o método da separação de variáveis, assumindo
u(x,t)=X(x),T(t)

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) na PDE, obtemos
X(x),T'(t) = k^2,X''(x),T(t)
Dividindo ambos os lados por k^2X(x)T(t) (supondo X,Tneq0), vem
T'(t)k^2T(t) = X''(x)X(x)
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, logo ambos devem ser iguais a uma constante -lambda.

Passo 3

Igualando ao separação-constante, definimos
T'(t)k^2T(t)=-lambda
e daí tiramos a equação para T:
T'(t)+lambda,k^2,T(t)=0

Passo 4

Do outro lado, temos
X''(x)X(x)=-lambda
que leva à equação para X:
X''(x)+lambda,X(x)=0

Passo 5

Aplicamos agora as condições de contorno em X. Como u(0,t)=X(0)T(t)=0 para todo t e Tnotequiv0, vem
X(0)=0
E de ux(L,t)+gamma,u(L,t)=0 obtemos
X'(L),T(t)+gamma,X(L),T(t)=0
para todo t, logo
X'(L)+gamma,X(L)=0

Resposta

As equações separadas e as condições de contorno são
T'(t)+lambda,k^2,T(t)=0,
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0, X'(L)+gamma,X(L)=0

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