Considere o problema
Suponha
u(x, t)=X(x) T(t) e mostre que
T^prime+lambda k^2 T=0 e
X^prime prime+lambda X=0, X(0)=0, X^prime(L)+gamma X(L)=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do calor
com condições de contorno
e condição inicial
u(x,0)=f(x) . Vamos usar o método da separação de variáveis, assumindo
Passo 2
Substituindo
u(x,t)=X(x)T(t) na PDE, obtemos
Dividindo ambos os lados por
k^2X(x)T(t) (supondo
X,Tneq0 ), vem
O lado esquerdo depende só de
t e o direito só de
x , logo ambos devem ser iguais a uma constante
-lambda .
Passo 3
Igualando ao separação-constante, definimos
e daí tiramos a equação para
T :
Passo 4
Do outro lado, temos
que leva à equação para
X :
Passo 5
Aplicamos agora as condições de contorno em
X . Como
u(0,t)=X(0)T(t)=0 para todo
t e
Tnotequiv0 , vem
E de
ux(L,t)+gamma,u(L,t)=0 obtemos
para todo
t , logo
Resposta
As equações separadas e as condições de contorno são