Uma partícula de massa m=1 está presa a uma mola (na horizontal), de constante k=9, sofre resistência do ar proporcional à velocidade Fr(v)=-6 v e está sob ação da força externa Fe(t)=3 sen(3 t).
(b) Discuta se a posição x(t) converge à origem para t infty.

Passo 1

Temos uma partícula de massa m=1 presa a uma mola de constante k=9, com amortecimento linear de coeficiente 6 (força de resistência do ar Fr=-6v) e força externa Fe(t)=3sin(3t). O modelo é uma EDO linear de segunda ordem:
x'' + 6x' + 9x = 3sin(3t)
Vamos achar a solução geral como soma da solução homogênea (amortecimento) e de uma solução particular (regime forçado), e em seguida ver o comportamento quando ttoinfty.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea:
xh''+6xh'+9xh=0
característica ;r^2+6r+9=(r+3)^2=0implies r=-3 dupla. Logo
xh(t)=(C1 + C2,t)e^-3t,
que satisfaz xh(t)to0 e t,e^-3tto0 quando ttoinfty.

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo
xp(t)=Asin(3t)+Bcos(3t)
Então
xp' = 3Acos(3t)-3Bsin(3t), xp''=-9Asin(3t)-9Bcos(3t)
Substituindo em x''+6x'+9x=3sin(3t) e coletando termos:
(-9A-18B+9A)sin(3t)+( -9B+18A+9B)cos(3t) =-18Bsin(3t)+18Acos(3t)
deve igualar 3sin(3t)+0cos(3t). Assim
18A=0implies A=0, -18B=3implies B=-tfrac16
Portanto
xp(t) = -tfrac16cos(3t)

Passo 4

A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t) =(C1+C2,t)e^-3t-tfrac16cos(3t)
Como (C1+C2,t)e^-3tto0 para ttoinfty, o regime transitório desaparece e resta
x(t)sim xp(t)=-tfrac16cos(3t),
uma oscilação permanente de amplitude 1/6.

Resposta

Não. A solução não converge à origem, mas tende para o regime forçado periódico
x(t)to -tfrac16cos(3t)quando ttoinfty

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