Uma partícula de massa
está presa a uma mola (na horizontal), de constante
, sofre resistência do ar proporcional à velocidade
e está sob ação da força externa
.
(b) Discuta se a posição
converge à origem para
.
(b) Discuta se a posição
Passo 1
Temos uma partícula de massa
presa a uma mola de constante
, com amortecimento linear de coeficiente
(força de resistência do ar
) e força externa
. O modelo é uma EDO linear de segunda ordem:
Vamos achar a solução geral como soma da solução homogênea (amortecimento) e de uma solução particular (regime forçado), e em seguida ver o comportamento quando
.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea:
característica
dupla. Logo
que satisfaz
e
quando
.
Passo 3
Buscamos uma solução particular do tipo
Então
Substituindo em
e coletando termos:
deve igualar
. Assim
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Como
para
, o regime transitório desaparece e resta
uma oscilação permanente de amplitude
.
Resposta
Não. A solução não converge à origem, mas tende para o regime forçado periódico