Resolva os problemas
lut=3 ux x, 0<x<1, t>0, ux(0, t)=0, u(1, t)=0, t>0, u(x, 0)=1-x, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado define um problema de calor unidimensional
ut=3,uxx, 0<x<1,;t>0,
com condição de contorno mista
ux(0,t)=0, u(1,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=1-x
Vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em autofunções.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em ut=3uxx e dividindo por 3XT obtemos
T'3T=X''X=-lambda
Isso leva ao problema de autovalores
X''+lambda X=0, X'(0)=0,;X(1)=0

Passo 3

A solução geral é
X(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x)
Da condição X'(0)=0 vem B=0. Da condição X(1)=0 obtemos
cos(raizlambda)=0Longrightarrowraizlambda=(2n-1)pi2,;n=1,2,dots
Logo
lambdan=l(tfrac(2n-1)pi2r)^2, Xn(x)=cosl(tfrac(2n-1)pi x2r)

Passo 4

Para cada lambdan a parte temporal é
Tn(t)=exp!l(-3lambdan,tr) =exp!l(-3l(tfrac(2n-1)pi2r)^2tr)
Assim a solução geral em série fica
u(x,t) =sumn=1^inftyAn, cos!l(tfrac(2n-1)pi x2r), exp!l(-3l(tfrac(2n-1)pi2r)^2tr)

Passo 5

Impondo u(x,0)=1-x temos
1-x =sumn=1^inftyAn, cos!l(tfrac(2n-1)pi x2r)
Pela ortogonalidade
integral0^1cos^2!l(tfrac(2n-1)pi x2r)dx=tfrac12,
segue
An =1tfrac12 integral0^1(1-x), cos!l(tfrac(2n-1)pi x2r),dx =2integral0^1(1-x)cos(alphan x),dx,
onde alphan=(2n-1)pi/2.

Passo 6

Calculamos
In=integral0^1(1-x)cos(alphan x),dx
Por partes obtém-se
In=1-cos(alphan)alphan^2 =1alphan^2,
pois cos(alphan)=cosl((2n-1)pi/2r)=0. Logo
An=2In=2alphan^2 =8(2n-1)^2pi^2

Passo 7

Substituindo em u(x,t) vem a solução final
u(x,t) =sumn=1^infty 8(2n-1)^2pi^2, cos!l(tfrac(2n-1)pi x2r), exp!l(-3;tfrac(2n-1)^2pi^24,tr)

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty 8(2n-1)^2pi^2 cos!l(tfrac(2n-1)pi x2r) exp!l(-tfrac3,(2n-1)^2pi^24,tr)

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