Resolva os problemas
Passo 1
O enunciado define um problema de calor unidimensional
com condição de contorno mista
e condição inicial
Vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em autofunções.
Passo 2
Procuramos solução da forma
Substituindo em
ut=3uxx e dividindo por
3XT obtemos
Isso leva ao problema de autovalores
Passo 3
A solução geral é
Da condição
X'(0)=0 vem
B=0 . Da condição
X(1)=0 obtemos
Logo
Passo 4
Para cada
lambdan a parte temporal é
Assim a solução geral em série fica
Passo 5
Impondo
u(x,0)=1-x temos
Pela ortogonalidade
segue
onde
alphan=(2n-1)pi/2 .
Passo 6
Calculamos
Por partes obtém-se
pois
cos(alphan)=cosl((2n-1)pi/2r)=0 . Logo
Passo 7
Substituindo em
u(x,t) vem a solução final