Uma partícula de massa
está presa a uma mola (na horizontal), de constante
, sofre resistência do ar proporcional à velocidade
e está sob ação da força externa
.
(c) Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.
(c) Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.
Passo 1
O enunciado da parte (c) pergunta se a solução
do oscilador amortecido forçado
com
,
, amortecimento
e condições iniciais
,
, atinge
. Para decidir isso, vamos usar a solução completa obtida em (a) e analisar seu deslocamento máximo.
Passo 2
Da parte (a) temos a solução geral
onde a parte homogênea é
e uma particular pelo método dos coeficientes indeterminados é
Substituindo em
achamos
logo
Passo 3
Aplicando as condições iniciais
e
determina-se
Portanto a solução completa é
Convenientemente definimos o termo transitório
de modo que
Passo 4
Observe que
logo
decresce a partir de
. Assim
O termo oscilante
varia entre
e
.
Logo o deslocamento total satisfaz
Logo o deslocamento total satisfaz
Passo 5
Como
para todo
, a massa nunca se afasta uma unidade da origem e, portanto, a mola não se rompe.
Resposta
A solução não atinge
; o deslocamento máximo é
, logo a mola não rompe.