Uma partícula de massa m=1 está presa a uma mola (na horizontal), de constante k=9, sofre resistência do ar proporcional à velocidade Fr(v)=-6 v e está sob ação da força externa Fe(t)=3 sen(3 t).
(c) Sabe-se que essa mola se rompe somente se a massa se afastar da origem uma unidade de comprimento. Discuta se a solução de (a) romperá a mola.

Passo 1

O enunciado da parte (c) pergunta se a solução x(t) do oscilador amortecido forçado
x'' +6x' +9x = 3sin(3t),
com m=1, k=9, amortecimento 6v e condições iniciais x(0)=0, x'(0)=0, atinge lvert x(t)rvert=1. Para decidir isso, vamos usar a solução completa obtida em (a) e analisar seu deslocamento máximo.

Passo 2

Da parte (a) temos a solução geral
x(t) = xh(t) + xp(t),
onde a parte homogênea é
xh(t) = (C1 + C2,t),e^-3t
e uma particular pelo método dos coeficientes indeterminados é
xp(t) = Acos(3t)+Bsin(3t)
Substituindo em x''+6x'+9x=3sin(3t) achamos
A=-16, B=0,
logo
xp(t)=-16cos(3t)

Passo 3

Aplicando as condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0 determina-se
C1=16, C2=12
Portanto a solução completa é
x(t) =l(tfrac16+tfrac12,tr)e^-3t -16cos(3t)
Convenientemente definimos o termo transitório
T(t)=l(tfrac16+tfrac12,tr)e^-3t,
de modo que
x(t)=T(t)-tfrac16cos(3t)

Passo 4

Observe que
T'(t)=-tfrac32,t,e^-3t<0para t>0,
logo T(t) decresce a partir de T(0)=tfrac16. Assim
0<= T(t)<= tfrac16forall t>=0
O termo oscilante -16cos(3t) varia entre -tfrac16 e +tfrac16.
Logo o deslocamento total satisfaz
-16 ;<=; x(t);<=;16+16=13

Passo 5

Como lvert x(t)rvert<=tfrac13<1 para todo t>=0, a massa nunca se afasta uma unidade da origem e, portanto, a mola não se rompe.

Resposta

A solução não atinge lvert x(t)rvert=1; o deslocamento máximo é tfrac13, logo a mola não rompe.

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