Encontre, se exitirem, os parâmetros b >= 0 e k>0 que definem um oscilador harmônico ddotx+2 b dotx+k x=0 de modo que:
b) Oscile com amortecimento da forma x(t)=pi e^-t sen(5 t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um oscilador harmônico com amortecimento descrito pela equação diferencial:
ddotx + 2b dotx + k x = 0
E a função que representa o movimento é:
x(t) = pi e^-t sin(5 t)
Nosso objetivo é encontrar os valores de b (que deve ser maior ou igual a 0) e k (que deve ser maior que 0) que fazem essa equação funcionar dessa forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação do oscilador amortecido tem a forma:
x(t) = e^-gamma t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) )
Aqui, gamma = b é a taxa de amortecimento e omegad é a frequência angular amortecida, que está relacionada com a frequência natural omega e o amortecimento por:
omegad = raizomega^2 - gamma^2
E a frequência natural é dada por:
omega = raizkm
Como nosso movimento é x(t) = pi e^-t sin(5 t) , podemos identificar que:
  • gamma = 1 (coeficiente de t no expoente)
  • omegad = 5

Passo 3

Sabendo que omegad = raizomega^2 - gamma^2 , podemos substituir os valores que já sabemos:
5 = raizomega^2 - 1^2 5 = raizomega^2 - 1
Agora, vamos resolver essa equação para omega :
5^2 = omega^2 - 1 25 = omega^2 - 1 omega^2 = 26 omega = raiz26

Passo 4

Agora que temos omega = raiz26 , podemos voltar à expressão da frequência natural:
omega = raizkm
Assumindo que a massa m = 1 (já que não foi especificada), temos:
raiz26 = raizk1 raiz26 = raizk
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para k :
26 = k k = 26

Passo 5

Lembrando que gamma = b , já identificamos que gamma = 1 , então:
b = 1

Resposta

Os parâmetros que satisfazem a condição são b = 1 e k = 26 .

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