Encontre, se exitirem, os parâmetros
e
que definem um oscilador harmônico
de modo que:
b) Oscile com amortecimento da forma
.
b) Oscile com amortecimento da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um oscilador harmônico com amortecimento descrito pela equação diferencial:
E a função que representa o movimento é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
(que deve ser maior ou igual a 0) e
(que deve ser maior que 0) que fazem essa equação funcionar dessa forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação do oscilador amortecido tem a forma:
Aqui,
é a taxa de amortecimento e
é a frequência angular amortecida, que está relacionada com a frequência natural
e o amortecimento por:
E a frequência natural é dada por:
Como nosso movimento é
, podemos identificar que:
-
(coeficiente de no expoente) -
Passo 3
Sabendo que
, podemos substituir os valores que já sabemos:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos voltar à expressão da frequência natural:
Assumindo que a massa
(já que não foi especificada), temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Passo 5
Lembrando que
, já identificamos que
, então:
Resposta
Os parâmetros que satisfazem a condição são
e
.