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Considere o problema da transferência de oxigênio da cavidade interior do pulmão, atravessando o tecido pulmonar, para a rede de vasos sanguíneos do lado oposto. O tecido pulmonar (espécie B) pode ser aproximado por uma parede plana com espessura L. Pode-se considerar que o processo de inalação é capaz de manter uma concentração molar constante CA(0) de oxigênio (espécie A) na superfície interna do tecido ( x=0) e que a assimilação do oxigênio pelo sangue é capaz de manter uma concentração molar constante CA(L) na superfície externa do tecido (x=L). Há consumo de oxigênio no tecido devido aos processos metabólicos e a reação é de ordem zero. Obtenha expressões para a distribuição das concentrações de oxigênio no tecido e para a taxa de assimilação do oxigênio pelo sangue por unidade de área superficial do tecido.

Passo 1

Beleza, o problema fala de oxigênio atravessando a parede do pulmão (espessura L) por difusão, enquanto rola um consumo constante (ordem zero) dentro do tecido. Nas duas faces do tecido temos concentrações fixas:
  • em x=0: (sangue saturado de O₂ vindo da inspiração),
  • em x=L: (sangue que já liberou o O₂ para o resto do corpo).
Conteúdo: equilíbrio estacionário de difusão com reação de ordem zero. Vamos usar a Lei de Fick e integrar a equação diferencial pra achar a distribuição e depois o fluxo (taxa de assimilação) no lado x=L.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial estacionária com consumo de ordem zero:
0 = D d^2 CAdx^2 ;-; r0
Aqui
  • é o coeficiente de difusão no tecido,
  • é a taxa de consumo constante (mol·m⁻³·s⁻¹),
  • o “0 =” vem de assumirmos regime estacionário (sem acumulação de O₂ no tecido).

Passo 3

Agora integramos a equação duas vezes. Primeiro, reescreve:
d^2 CAdx^2 = r0D
Integra 1ª vez em x:
d CAdx = r0D,x + C1,
onde é constante de integração.

Passo 4

Integramos de novo para achar CA(x) = r02D,x^2 + C1,x + C2,:
onde é outra constante de integração.

Passo 5

Usamos as condições de contorno pra determinar CA0 = r02D,0^2 + C1cdot0 + C2 Longrightarrow C2 = CA0 e CAL = r02D,L^2 + C1,L + CA0 ;Longrightarrow; C1 = CAL - CA0 - r0,L^22DL .
  1. Em x = 0:
  1. Em x = L:

Passo 6

Substituindo boxed CA(x) ;=; r02D,x^2 ;+;gl(CAL-CA0L-r0,L2Dgr),x ;+;CA0 e na expressão geral, fica:

Passo 7

Pra achar a taxa de assimilação por unidade de área (fluxo no lado x=L), usamos a Lei de Fick:
J = -D;dCAdx|x=L
Da derivada que já tínhamos:
dCAdx = r0D,x + CAL-CA0L - r0,L2D,
avaliando em dCAdx|L = r0D,L + CAL-CA0L - r0,L2D = r0,L2D + CAL-CA0L :
J = -Dl(r0,L2D + CAL-CA0Lr) = D,(CA0-CAL)L ;-;r0,L2
Logo o fluxo (positivo entrando no sangue) é

Resposta

Distribuição de concentração:
CA(x) = r02D,x^2 + l(CAL-CA0L-r0,L2Dr),x + CA0
Taxa de assimilação por área (fluxo em x=L):
boxed J = D,(CA0-CAL)L ;-; r0,L2

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