Uma mangueira de incêndio (diâmetro 10 cm ) converge para um bocal de 2 cm . A vazão é 0,02 m^3 / s. Calcule a velocidade de saída e a pressão na entrada (horizontal).

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente tem uma mangueira de incêndio com diâmetro de 10 cm que vai convergir num bocal de 2 cm. A vazão de água é 0,02 m^3/s. A gente precisa achar duas coisas:
  1. a velocidade de saída da água no bocal;
  2. a pressão na entrada (na parte mais larga), considerando tudo na horizontal.
O conteúdo que vamos usar é a Equação da Continuidade (para ligar vazão e velocidade) e a Equação de Bernoulli (para ligar pressão e velocidade). Também precisamos saber converter diâmetro em área e usar densidade da água, rhoapprox1000 kg/m^3.

Passo 2

Primeiro, calcula a área da seção da mangueira e do bocal.
A fórmula da área de um círculo é A = piD^24.
  • Na entrada (diâmetro D1=0,10 m): A1 = pi(0,10)^24 = pi0,014 approx 7,85times10^-3 m^2
    - No bocal (diâmetro D2=0,02 m):
    A2 = pi(0,02)^24 = pi0,00044 approx 3,14times10^-4 m^2

Passo 3

Agora a Equação da Continuidade diz que a vazão Q é a mesma em todo lugar, ou seja
Q = A1,v1 = A2,v2
Como a gente conhece Q=0,02 m^3/s, encontramos as velocidades:
- Na entrada:
v1 = QA1 = 0,027,85times10^-3 approx 2,55 m/s
  • Na saída (bocal): v2 = QA2 = 0,023,14times10^-4 approx 63,7 m/s

Passo 4

Para achar a pressão na entrada, usamos Bernoulli entre ponto 1 (entrada) e ponto 2 (saída), desconsiderando altura porque é tudo horizontal:
P1 + tfrac12,rho,v1^2 = P2 + tfrac12,rho,v2^2
No bocal a pressão sai para a atmosfera, então usamos como referência P2 = 0 (pressão gauge). Isolando P1:
P1 = tfrac12,rho,(v2^2 - v1^2)
Substituindo rho=1000 kg/m^3, v2approx63,7 m/s e v1approx2,55 m/s:
P1 = tfrac12cdot1000l(63,7^2 - 2,55^2r)approx 2,02times10^6 Pa

Resposta

Velocidade de saída: v2 approx 63,7 m/s.
Pressão na entrada (gauge): P1 approx 2,02 MPa,.

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