Considere o problema de valor inicial
\begin{cases}\frac{d p}{d t}=p(a-b \ln p) ; & p>0 \\\ p\left(t_{0}\right)=p_{0} ; & p_{0}>0\end{cases}
onde a e b são constantes. Resolva o problema de valor inicial para p(t)^{2}.

Passo 1

O problema de valor inicial é
\frac{dp}{dt} = p\bigl(a - b \ln p\bigr), \quad p(t_{0}) = p_{0}>0.
Queremos obter uma expressão para p(t)^{2}. A ideia é usar a substituição y = \ln p para transformar a EDO não-linear em uma EDO linear em y.

Passo 2

Definindo y=\ln p, temos
\frac{dy}{dt} = \frac{1}{p}\,\frac{dp}{dt}.
Como \frac{dp}{dt}=p(a-b\ln p), segue
\frac{dy}{dt} = a - b\,y.
Portanto y(t) satisfaz a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + b\,y = a.

Passo 3

O fator integrante é e^{b t}. Multiplicando a EDO por esse fator e integrando, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{b t}\bigr)=a\,e^{b t} \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{b t}=\frac{a}{b}\,e^{b t}+C
e, isolando y,
y(t)=\frac{a}{b}+C\,e^{-b t}.

Passo 4

Para achar C, usamos a condição inicial y(t_{0})=\ln p_{0}:
\ln p_{0}=\frac{a}{b}+C\,e^{-b t_{0}} \quad\Longrightarrow\quad C=\Bigl(\ln p_{0}-\frac{a}{b}\Bigr)e^{b t_{0}}.
Logo
y(t)=\frac{a}{b}+\Bigl(\ln p_{0}-\frac{a}{b}\Bigr)e^{-b\bigl(t-t_{0}\bigr)}.

Passo 5

Voltando a p, temos
p(t)=e^{y(t)} =\exp\!\Bigl(\frac{a}{b}+\bigl(\ln p_{0}-\frac{a}{b}\bigr)e^{-b(t-t_{0})}\Bigr).
Portanto
p(t)^{2} =\exp\!\Bigl(2\frac{a}{b}+2\bigl(\ln p_{0}-\frac{a}{b}\bigr)e^{-b(t-t_{0})}\Bigr).

Resposta

p(t)^{2} =\exp\!\Bigl(\frac{2a}{b}+2\bigl(\ln p_{0}-\frac{a}{b}\bigr)e^{-b(t-t_{0})}\Bigr).

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