Verifique se a equação abaixo é exata e se for resolva
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo aqui é equações exatas, onde definimos
e conferimos se
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão. Temos
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Em equações exatas existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
Então
(ignoramos a constante
aqui, pois vai para o lado direito da solução geral).
Resposta
A solução implícita da equação exata é
onde
é constante arbitrária.