Verifique se a equação abaixo é exata e se for resolva
(2 x+3 y) d x+(3 x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x+3y)\,dx + (3x+2y)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo aqui é equações exatas, onde definimos
M(x,y)=2x+3y \quad\text{e}\quad N(x,y)=3x+2y
e conferimos se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão. Temos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y) =3,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x+2y) =3.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Em equações exatas existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (2x+3y)\,dx = x^2 + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos \Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 + 3xy + h(y)\bigr) = 3x + h'(y) \stackrel{!}{=}3x+2y.
Daí vem
h'(y)=2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_1.
Então
\Psi(x,y)=x^2+3xy+y^2
(ignoramos a constante C_1 aqui, pois vai para o lado direito da solução geral).

Resposta

A solução implícita da equação exata é
x^2 + 3xy + y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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