Determine um fator integrante e resolva a equação
\left(3 y^{2}-x^{2}+1\right) d x+2 x y d y=0, x>0, y>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
com
M(x,y)=3y^{2}-x^{2}+1,\quad N(x,y)=2xy,
definida em x>0,y>0. Como não é exata ( \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x), vamos buscar um fator integrante do tipo \mu(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=6y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2y.
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Para um fator integrante \mu(x) depende só de x, usamos a condição
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) \;\text{depende só de }x.ó
Calculando,
\frac{1}{2xy}\bigl(6y-2y\bigr) =\frac{4y}{2xy} =\frac{2}{x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(2\ln x\bigr) =x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{2}, obtendo
\tilde M(x,y)\,dx+\tilde N(x,y)\,dy=0,
onde
\tilde M(x,y)=x^{2}(3y^{2}-x^{2}+1), \quad \tilde N(x,y)=x^{2}\cdot2xy=2x^{3}y.
Agora deve ser exata.

Passo 5

Buscamos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} =\tilde M(x,y) =3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(3x^{2}y^{2}-x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx =x^{3}y^{2}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+H(y).

Passo 6

Derivando em y,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2x^{3}y+H'(y)
deve ser igual a \tilde N(x,y)=2x^{3}y. Assim H'(y)=0 e H(y)=constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x^{3}y^{2}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}=C.

Exercícios relacionados