Dados a função , ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
determine:
a) Os pontos onde a série acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de a partir da série dada.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida em por
que é estendida como função ímpar de período . Foi obtida a série de Fourier (série de senos, pois é ímpar)
Pedem:
(a) os pontos onde essa série converge e o valor da soma nesses pontos;
(b) usar essa série para determinar .
Conteúdo envolvido: teorema de convergência pontual de séries de Fourier (Teorema de Dirichlet) e o Teorema de Parseval.
Passo 2
Pelo Teorema de Dirichlet, se é periódica de período , com pedaços de continuidade e derivável a trechos, então a série de Fourier converge em cada para
isto é, para a média dos limites à esquerda e à direita de em .
Passo 3
Precisamos achar a extensão ímpar e periódica de período . Em cada período, em vale . Em , pela ímparidade,
Fora , usa-se .
Para não há descontinuidade local, logo a série converge para .
Para ( inteiro), os dois limites laterais valemcuja média é .
Passo 4
Conclusão da parte (a):
A série converge paraisto é, para f(x) nos pontos de continuidade.
Em x=2k, a série converge para 0.
Passo 5
Para a parte (b), usamos o Teorema de Parseval para a série de senos em [-1,1] (período 2, L=1). Os coeficientes são bn=tfrac2npi e não há coeficientes de cosseno nem termo constante. O Teorema de Parseval diz