Dados a função f(x)=1-x, 0<x<1, ímpar, e periódica de período 2, e que a sua série de Fourier é
sumn=1^infty 2n pi sen(n pi x),
determine:
a) Os pontos x onde a série acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de sumn=1^infty 1n^2 a partir da série dada.

Passo 1

O enunciado dá uma função f definida em (0,1) por
f(x)=1-x,
que é estendida como função ímpar de período 2. Foi obtida a série de Fourier (série de senos, pois f é ímpar)
sumn=1^infty2npisin(npi x)
Pedem:
  1. (a) os pontos x onde essa série converge e o valor da soma nesses pontos;
  2. (b) usar essa série para determinar sumn=1^inftytfrac1n^2.
Conteúdo envolvido: teorema de convergência pontual de séries de Fourier (Teorema de Dirichlet) e o Teorema de Parseval.

Passo 2

Pelo Teorema de Dirichlet, se f é periódica de período 2, com pedaços de continuidade e derivável a trechos, então a série de Fourier converge em cada x para
f(x^-)+f(x^+)2,
isto é, para a média dos limites à esquerda e à direita de f em x.

Passo 3

Precisamos achar a extensão ímpar e periódica de período 2. Em cada período, em (0,1) vale f(x)=1-x. Em (-1,0), pela ímparidade,
f(x)= -,f(-x)=-(1-(-x))=-(1+x)=-1 - x
Fora [-1,1], usa-se f(x+2)=f(x).
  • Para xnotin2Z não há descontinuidade local, logo a série converge para f(x).
  • Para x=2k ( k inteiro), os dois limites laterais valem f(2k^-)=limtto0^-f(t)=f(0^-)= -1, f(2k^+)=f(0^+)=+1, cuja média é tfrac-1+12=0.

Passo 4

Conclusão da parte (a):
  • A série converge para sumn=1^infty2npisin(npi x)= 1-x,&xin(0,1)+2k, -1-x,&xin(-1,0)+2k, isto é, para f(x) nos pontos de continuidade.
  • Em x=2k, a série converge para 0.

Passo 5

Para a parte (b), usamos o Teorema de Parseval para a série de senos em [-1,1] (período 2, L=1). Os coeficientes são bn=tfrac2npi e não há coeficientes de cosseno nem termo constante. O Teorema de Parseval diz
integral-1^1l[f(x)r]^2dx =sumn=1^infty bn^2 =sumn=1^inftyl(2npir)^2 =4pi^2sumn=1^infty1n^2
Calculamos a integral usando que f^2 é função par:
integral-1^1f(x)^2dx =2integral0^1(1-x)^2dx =2integral0^1(1-2x+x^2)dx =2l[1 -1 +tfrac13r] =tfrac23
Igualando,
23 =4pi^2sumn=1^infty1n^2 Longrightarrow sumn=1^infty1n^2 =pi^26

Resposta

a) A série converge para
Em .
b)

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