Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime+y=x e^-x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + y = x e^-x + 1
e pede a solução geral. O método a usar é o do fator integrante para equações lineares da forma ,y'+P(x),y=Q(x),.

Passo 2

Identificamos P(x)=1. O fator integrante mu(x) é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^x, obtendo
e^x y' + e^x y = e^xl(x e^-x+1r)
que simplifica para
e^x y' + e^x y = x + e^x
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^x y, isto é,
l(e^x yr)' = x + e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(e^x yr)' ,dx = integral x,dx + integral e^x,dx
e^x y = x^22 + e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y = x^22 + e^x + Ce^x = x^22,e^-x + 1 + C,e^-x

Resposta

A solução geral é
y(x) = 1 + e^-xl(tfracx^22 + Cr),
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados