Determine soluções particulares para as seguintes equações:
y^prime prime+2 y^prime+y=t^2 e^2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y'' + 2y' + y = t^2 e^2t . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, especificamente o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, y'' + 2y' + y = 0 . Para isso, montamos a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:
(r + 1)^2 = 0 implies r = -1 (raiz dupla)
Então, a solução geral da parte homogênea é:
yh = (C1 + C2 t)e^-t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa. Como o lado direito da equação é t^2 e^2t , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = e^2t(At^2 + Bt + C)
Aqui, A , B e C são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = e^2t(2At^2 + (4A + 2B)t + (2B + 2C))
yp'' = e^2t(4At^2 + (12A + 4B)t + (4A + 8B + 4C))
Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
yp'' + 2yp' + yp = e^2t(4At^2 + (12A + 4B)t + (4A + 8B + 4C)) + 2e^2t(2At^2 + (4A + 2B)t + (2B + 2C)) + e^2t(At^2 + Bt + C)
Simplificando:
e^2t[(4A + 4A + A)t^2 + (12A + 4B + 8A + 4B + B)t + (4A + 8B + 4C + 4B + 4C + C)]
= e^2t(9A t^2 + (20A + 9B)t + (4A + 12B + 9C))
Igualando ao lado direito da equação t^2 e^2t , temos:
9A t^2 + (20A + 9B)t + (4A + 12B + 9C) = t^2
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
9A = 1 20A + 9B = 0 4A + 12B + 9C = 0
Resolvendo o sistema:
A = 19
20(19) + 9B = 0 implies B = -2081
4(19) + 12(-2081) + 9C = 0 implies C = 44243

Passo 5

Com os valores de A , B e C determinados, a solução particular é:
yp = e^2t( 19 t^2 - 2081 t + 44243 )

Resposta

A solução particular para a equação dada é:
yp = e^2t( 19 t^2 - 2081 t + 44243 )

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