Determine soluções particulares para as seguintes equações: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas, especificamente o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Igualando ao lado direito da equação , temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
A = 19
20(19) + 9B = 0 implies B = -2081
4(19) + 12(-2081) + 9C = 0 implies C = 44243
Passo 5
Com os valores de A , B e C determinados, a solução particular é: